المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
ماشية اللحم في الولايات المتحدة الأمريكية
2024-11-05
أوجه الاستعانة بالخبير
2024-11-05
زكاة البقر
2024-11-05
الحالات التي لا يقبل فيها الإثبات بشهادة الشهود
2024-11-05
إجراءات المعاينة
2024-11-05
آثار القرائن القضائية
2024-11-05


Vieta,s Formulas  
  
597   03:56 مساءً   date: 23-2-2019
Author : Bold, B
Book or Source : Famous Problems of Geometry and How to Solve Them. New York: Dover
Page and Part : ...


Read More
Date: 17-1-2019 921
Date: 4-3-2019 986
Date: 23-2-2019 838

Vieta's Formulas

 

Let s_i be the sum of the products of distinct polynomial roots r_j of the polynomial equation of degree n

 a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0=0,

(1)

where the roots are taken i at a time (i.e., s_i is defined as the symmetric polynomial Pi_i(r_1,...,r_n)s_i is defined fori=1, ..., n. For example, the first few values of s_i are

s_1 = r_1+r_2+r_3+r_4+...

(2)

s_2 = r_1r_2+r_1r_3+r_1r_4+r_2r_3+...

(3)

s_3 = r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+r_2r_3r_4+...,

(4)

and so on. Then Vieta's formulas states that

 s_i=(-1)^i(a_(n-i))/(a_n).

(5)

The theorem was proved by Viète (also known as Vieta, 1579) for positive roots only, and the general theorem was proved by Girard.

This can be seen for a second-degree polynomial by multiplying out,

a_2x^2+a_1x+a_0 = a_2(x-r_1)(x-r_2)

(6)

= a_2[x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2],

(7)

so

s_1 = sum_(i=1)^(2)r_i

(8)

= r_1+r_2

(9)

= -(a_1)/(a_2)

(10)

s_2 = sum_(i,j=1; i!=j)^(2)r_ir_j

(11)

= r_1r_2

(12)

= (a_0)/(a_2).

(13)

Similarly, for a third-degree polynomial,

a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 = a_3(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)

(14)

= a_3[x^3-(r_1+r_2+r_3)x^2+(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-r_1r_2r_3],

(15)

so

s_1 = sum_(i=1)^(3)r_i=-(a_2)/(a_3)

(16)

s_2 = sum_(i,j; i<j)^(3)r_ir_j

(17)

= r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3

(18)

= (a_1)/(a_3)

(19)

s_3 = sum_(i,j,k; i<j<k)^(3)r_ir_jr_k

(20)

= r_1r_2r_3

(21)

= -(a_0)/(a_3).

(22)

 

REFERENCES:

Bold, B. Famous Problems of Geometry and How to Solve Them. New York: Dover, p. 56, 1982.

Borwein, P. and Erdélyi, T. "Newton's Identities." §1.1.E.2 in Polynomials and Polynomial Inequalities. New York: Springer-Verlag, pp. 5-6, 1995.

Coolidge, J. L. A Treatise on Algebraic Plane Curves. New York: Dover, pp. 1-2, 1959.

Girard, A. Invention nouvelle en l'algèbre. Leiden, Netherlands: Bierens de Haan, 1884.

Hazewinkel, M. (Managing Ed.). Encyclopaedia of Mathematics: An Updated and Annotated Translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia," Vol. 9. Dordrecht, Netherlands: Reidel, p. 416, 1988.

van der Waerden, B. L. Algebra, Vol. 1. New York: Springer-Verlag, 1993.

Viète, F. Opera mathematica. 1579. Reprinted Leiden, Netherlands, 1646.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.