المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05
مـعاييـر تحـسيـن الإنـتاجـيـة
2024-11-05
نـسـب الإنـتاجـيـة والغـرض مـنها
2024-11-05
المـقيـاس الكـلـي للإنتاجـيـة
2024-11-05
الإدارة بـمؤشـرات الإنـتاجـيـة (مـبادئ الإنـتـاجـيـة)
2024-11-05
زكاة الفطرة
2024-11-05

[وداع الحسين لقبور الاحبة]
16-3-2016
تناغمات الأوتار والرياح
2024-01-10
هَل كان آزر والدَ إبراهيم؟
4-4-2017
قياس التبخر
1-6-2016
دور معاوية في قلب الموازين وتحريف الدين واظهار الباطل وتزييف الحقيقة
11-12-2019
معنى كلمة مسس
7-7-2022

Jordan,s Lemma  
  
400   02:38 مساءً   date: 17-11-2018
Author : Arfken, G.
Book or Source : Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press
Page and Part : ...


Read More
Date: 18-10-2018 348
Date: 16-12-2018 523
Date: 18-12-2018 498

Jordan's Lemma

Jordan's lemma shows the value of the integral

 I=int_(-infty)^inftyf(x)e^(iax)dx

(1)

along the infinite upper semicircle and with a>0 is 0 for "nice" functions which satisfy lim_(R->infty)|f(Re^(itheta))|=0. Thus, the integral along the real axis is just the sum of complex residues in the contour.

The lemma can be established using a contour integral I_R that satisfies

 lim_(R->infty)|I_R|<=pi/alim_(R->infty)epsilon=0.

(2)

To derive the lemma, write

x = Re^(itheta)

(3)

= R(costheta+isintheta)

(4)

dx = iRe^(itheta)dtheta,

(5)

and define the contour integral

 I_R=int_0^pif(Re^(itheta))e^(iaRcostheta-aRsintheta)iRe^(itheta)dtheta

(6)

Then

|I_R| <= Rint_0^pi|f(Re^(itheta))||e^(iaRcostheta)||e^(-aRsintheta)||i||e^(itheta)|dtheta

(7)

= Rint_0^pi|f(Re^(itheta))|e^(-aRsintheta)dtheta

(8)

= 2Rint_0^(pi/2)|f(Re^(itheta))|e^(-aRsintheta)dtheta.

(9)

Now, if lim_(R->infty)|f(Re^(itheta))|=0, choose an epsilon such that |f(Re^(itheta))|<=epsilon, so

 |I_R|<=2Repsilonint_0^(pi/2)e^(-aRsintheta)dtheta.

(10)

But, for theta in [0,pi/2],

 2/pitheta<=sintheta,

(11)

so

|I_R| <= 2Repsilonint_0^(pi/2)e^(-2aRtheta/pi)dtheta

(12)

= 2epsilonR(1-e^(-aR))/((2aR)/pi)

(13)

= (piepsilon)/a(1-e^(-aR)).

(14)

As long as lim_(R->infty)|f(z)|=0, Jordan's lemma

 lim_(R->infty)|I_R|<=pi/alim_(R->infty)epsilon=0

(15)

then follows.


REFERENCES:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 406-408, 1985.

Jordan, C. Cours d'Analyse de l'Ecole polytechnique, Tome 2, 3. éd., rev. et corrigé. Paris: Gauthier-Villars, pp. 285-86, 1909-1915.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "Jordan's Lemma." §6.222 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 115-117, 1990.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.