1

المرجع الالكتروني للمعلوماتية

تاريخ الفيزياء

علماء الفيزياء

الفيزياء الكلاسيكية

الميكانيك

الديناميكا الحرارية

الكهربائية والمغناطيسية

الكهربائية

المغناطيسية

الكهرومغناطيسية

علم البصريات

تاريخ علم البصريات

الضوء

مواضيع عامة في علم البصريات

الصوت

الفيزياء الحديثة

النظرية النسبية

النظرية النسبية الخاصة

النظرية النسبية العامة

مواضيع عامة في النظرية النسبية

ميكانيكا الكم

الفيزياء الذرية

الفيزياء الجزيئية

الفيزياء النووية

مواضيع عامة في الفيزياء النووية

النشاط الاشعاعي

فيزياء الحالة الصلبة

الموصلات

أشباه الموصلات

العوازل

مواضيع عامة في الفيزياء الصلبة

فيزياء الجوامد

الليزر

أنواع الليزر

بعض تطبيقات الليزر

مواضيع عامة في الليزر

علم الفلك

تاريخ وعلماء علم الفلك

الثقوب السوداء

المجموعة الشمسية

الشمس

كوكب عطارد

كوكب الزهرة

كوكب الأرض

كوكب المريخ

كوكب المشتري

كوكب زحل

كوكب أورانوس

كوكب نبتون

كوكب بلوتو

القمر

كواكب ومواضيع اخرى

مواضيع عامة في علم الفلك

النجوم

البلازما

الألكترونيات

خواص المادة

الطاقة البديلة

الطاقة الشمسية

مواضيع عامة في الطاقة البديلة

المد والجزر

فيزياء الجسيمات

الفيزياء والعلوم الأخرى

الفيزياء الكيميائية

الفيزياء الرياضية

الفيزياء الحيوية

الفيزياء العامة

مواضيع عامة في الفيزياء

تجارب فيزيائية

مصطلحات وتعاريف فيزيائية

وحدات القياس الفيزيائية

طرائف الفيزياء

مواضيع اخرى

علم الفيزياء : مواضيع عامة في الفيزياء : مواضيع اخرى :

Energy Fluctuation in Canonical Ensemble

المؤلف:  Sidney B. Cahn, Gerald D. Mahan And Boris E. Nadgorny

المصدر:  A GUIDE TO PHYSICS PROBLEMS

الجزء والصفحة:  part 2 , p 44

26-8-2016

1475

Energy Fluctuation in Canonical Ensemble

Show that for a canonical ensemble the fluctuation of energy in a system of constant volume is related to the specific heat and, hence, deduce that the specific heat at constant volume is nonnegative.

SOLUTION

First solution: For a canonical ensemble:

(1)

where β = 1/τ. On the other hand,

(2)

Differentiating (2), we obtain

(3)

By inspecting (1)–( 3), we find that

(4)

Now, the heat capacity at constant volume, Cv, is given by

(5)

Therefore, comparing (4) and (5), we deduce that, at constant volume,

(6)

or in standard units

(7)

Since

then

Second solution: A more general approach may be followed which is applicable to other problems. Because the probability ω of finding that the value of a certain quantity X deviates from its average value ⟨X⟩ is proportional to eS(X - ⟨X⟩) and denoting x = X - ⟨X⟩, we can write

(8)

Note that ⟨X⟩ = 0. The entropy has a maximum at x = 0. Expanding S(x), we obtain

where

so λ > 0. The probability distribution

(9)

x2⟩ = λ, so

(10)

If we have several variables,

(11)

If the fluctuations of two variables xi, xk are statistically independent,

The converse is also true: If ⟨xixk⟩ = 0, the variables xi and xk are statistically independent. Now for a closed system we can write

(12)

where S0 is the total entropy of the system and ∆S0 is the entropy change due to the fluctuation. On the other hand,

(13)

where Wmin is the minimum work to change reversibly the thermodynamic variables of a small part of a system (the rest of the system works as a heat bath), and τ is the average temperature of the system (and therefore the temperature of the heat bath). Hence,

However,

(14)

where ∆E, ∆S, and ∆V are changes of a small part of a system due to fluctuations and τ, P are the average temperature and pressure. So,

(15)

Expanding ∆E (for small fluctuations) gives

(16)

Substituting (16) into (14), we obtain

(17)

where we used

So, finally

(18)

Using V and τ as independent variables we have

(19)

Substituting (19) into (18), we see that the cross terms with ∆V ∆τ cancel (which means that the fluctuations of volume and temperature are statistically independent, ⟨∆V. ∆τ ⟩ = 0):

(20)

Comparing (20) with (10), we find that the fluctuations of volume and temperature are given by

(21)

To find the energy fluctuation, we can expand ∆E:

(22)

where we used ⟨∆V. ∆τ ⟩ = 0. Substituting  and from (21), we obtain a more general formula for

(23)

At constant volume (23) becomes

the same as before.

EN

تصفح الموقع بالشكل العمودي