Quartic in Three Dimensions

A particle of mass m is bound in three dimensions by the quartic potential V(x) = Ar⁴. Use variational methods to estimate the energy of the ground state.

SOLUTION

The potential V(r) = Ar⁴ is spherically symmetric. In this case we can write the wave function as a radial part R(r) times angular functions. We assume that the ground state is an s-wave, and the angular functions are P₀, which is a constant. So we minimize only the radial part of the wave  function and henceforth ignore angular integrals. In three dimensions the integral in spherical coordinates is d³r = 4πr² dr. The factor 4π comes from the angular integrals. So we just evaluate the r² dr part. Again we choose the trial function to be a Gaussian:

(1)

have a slightly different form in three dimensions:

(2)

(3)

(4)

(5)

Note the form of the kinetic energy integral K, which again is obtained from Rp² R by an integration by parts. Again set the derivative of E(α) equal to zero. This determines the value α₀ which minimizes the energy:

(6)

(7)

مواضيع ذات صلة

مصطلحات الفيزياء النووية

إزاحة حمراء REDSHIFT

المركبات النانوية (Nanocomposites)

مولد فان دي جراف الالكتروستاتي

التطويرات التقنية الحديثة في المعجلات الالكتروستاتية

معجلات الالكترونات الالكتروستاتية

معجلات الفان دي جراف الترادفية

الحد من زيادة الطاقة في معجل فان دي جراف

أنبوبة التعجيل قي معجلات الجسيمات من نوع فان دي جراف

ارتكاز معجل فان دي جراف

مبدأ تشغيل معجل الفان دي جراف

القضايا الأخلاقية المتعلقة بتكنولوجيا النانو