Potential of Charged Rod

A thin non-conducting rod of length L carries a uniformly distributed charge Q and is oriented as shown in Figure 1.1.

Figure 1.1

a) Find the potential ϕ due to the charged rod for any point on the x-axis with z > L/2.

b) Find ϕ(r, θ, φ) for all |r| > L/2 where r, θ, φ are the usual spherical coordinates.

Hint: The general solution to Laplace’s equation in spherical coordinates is

(i)

SOLUTION

a) The potential along the z-axis may be computed by integrating along the rod:

(1)

where u ≡ L/2z.

b) Since the problem has azimuthal symmetry, we may use the Legendre polynomials P_l (cosθ) and rewrite the expansion in (i) (see Figure 1.2)

Since we consider r > L/2, all the A_l are zero, and

(2)

Figure 1.2

We wish to equate (2) along the with z-axis (1) where P_l(1) = 1 for all l. We must rewrite ln|(1+u)/(1-u)| as a sum. Now,

So

(3)

Rewriting (1) using (3), we find

Replacing n by l + 1,

(4)

Using (2) and (4), we have

مواضيع ذات صلة

مصطلحات الفيزياء النووية

إزاحة حمراء REDSHIFT

المركبات النانوية (Nanocomposites)

مولد فان دي جراف الالكتروستاتي

التطويرات التقنية الحديثة في المعجلات الالكتروستاتية

معجلات الالكترونات الالكتروستاتية

معجلات الفان دي جراف الترادفية

الحد من زيادة الطاقة في معجل فان دي جراف

أنبوبة التعجيل قي معجلات الجسيمات من نوع فان دي جراف

ارتكاز معجل فان دي جراف

مبدأ تشغيل معجل الفان دي جراف

القضايا الأخلاقية المتعلقة بتكنولوجيا النانو