تاريخ الفيزياء
علماء الفيزياء
الفيزياء الكلاسيكية
الميكانيك
الديناميكا الحرارية
الكهربائية والمغناطيسية
الكهربائية
المغناطيسية
الكهرومغناطيسية
علم البصريات
تاريخ علم البصريات
الضوء
مواضيع عامة في علم البصريات
الصوت
الفيزياء الحديثة
النظرية النسبية
النظرية النسبية الخاصة
النظرية النسبية العامة
مواضيع عامة في النظرية النسبية
ميكانيكا الكم
الفيزياء الذرية
الفيزياء الجزيئية
الفيزياء النووية
مواضيع عامة في الفيزياء النووية
النشاط الاشعاعي
فيزياء الحالة الصلبة
الموصلات
أشباه الموصلات
العوازل
مواضيع عامة في الفيزياء الصلبة
فيزياء الجوامد
الليزر
أنواع الليزر
بعض تطبيقات الليزر
مواضيع عامة في الليزر
علم الفلك
تاريخ وعلماء علم الفلك
الثقوب السوداء
المجموعة الشمسية
الشمس
كوكب عطارد
كوكب الزهرة
كوكب الأرض
كوكب المريخ
كوكب المشتري
كوكب زحل
كوكب أورانوس
كوكب نبتون
كوكب بلوتو
القمر
كواكب ومواضيع اخرى
مواضيع عامة في علم الفلك
النجوم
البلازما
الألكترونيات
خواص المادة
الطاقة البديلة
الطاقة الشمسية
مواضيع عامة في الطاقة البديلة
المد والجزر
فيزياء الجسيمات
الفيزياء والعلوم الأخرى
الفيزياء الكيميائية
الفيزياء الرياضية
الفيزياء الحيوية
الفيزياء العامة
مواضيع عامة في الفيزياء
تجارب فيزيائية
مصطلحات وتعاريف فيزيائية
وحدات القياس الفيزيائية
طرائف الفيزياء
مواضيع اخرى
Shallow Water Waves
المؤلف:
Sidney B. Cahn Boris E. Nadgorny
المصدر:
A GUIDE TO PHYSICS PROBLEMS
الجزء والصفحة:
part 1 , p 28
1-8-2016
1082
Shallow Water Waves
Water waves travel on the surface of a large lake of depth d. The lake has a perfectly smooth bottom and the waves are propagating purely in the +z direction (The wave fronts are straight lines parallel to the x axis. See Figure 1.1).
Figure 1.1
a) Find an expression for the velocity of the water v (y, z, t).
b) Find the corresponding dispersion relation. You may assume that the flow of the water is irrotational that the amplitude of the waves is small (in practice, this means that v2 << gh, where h is the height of the waves), that surface tension effects are not important, and that water is incompressible.
c) Find the group velocity of the wave front and consider two limiting cases λ >> d, λ << d.
SOLUTION
We essentially follow their solution. In this problem, we consider an incompressible fluid (which implies that the density is constant (see Figure 1.2). We also consider irrotational flow and ignore the surface tension and viscosity of the fluid. This is a very idealized case. In this case,
Figure 1.2
we have and since ρ is constant,
Combining this equation with the condition
allows us to introduce a potential φ (the so-called potential flow). The velocity v may be written in the form
and for the potential we have
(1)
On the bottom, we have the boundary condition
(2)
Using Euler’s equation for an irrotational field
(3)
(Here p is pressure, is the acceleration of gravity.) We substitute
and rewrite (3) as
(4)
Since (4) is the gradient of a function, the function itself will simply be
where f(t) is some arbitrary function of time which may be chosen to be zero. Also taking into account that v2/2 << gh, we have
Or
(5)
Consider the surface of the unperturbed water at y = d and introduce a small vertical displacement Y = y – d. Also, we assume that there is a constant pressure on the surface of the water p. Then from (5) we obtain
(6)
The constant p0 + ρgd can be eliminated by using another gauge for φ:
We now obtain from (6)
(7)
Again using the fact that the amplitude of the waves is small, we can write vy = ∂Y/∂t. In the same approximation of small oscillations, we can take the derivative at y = d. On the other hand, vy = ∂φ/∂y. So, from (7)
(8)
Now look for a solution for φ in the form φ = f(y) cos (kz – ωt). Substituting this into (1) gives
(9)
so
(10)
where A, B are arbitrary constants. From (2), we find that A = B and φ = A' cos h ky . cos(kz – ωt) where A' = 2A. By differentiating the potential we obtain the velocity components
b) From (8) we get the dispersion relation:
(11)
(12)
c) The group velocity of the waves is
(13)
Consider two limiting cases:
1) kd >> 1, d >> λ short wavelength waves. Then
2) kd << 1, d << λ long wavelength waves. Then