الطريقة التحليلية:

النظام المكعبي:

في النظام المكعبي تكون المسافة البينية بين المستويات d تساوي:

إذا كانت أول قيمة مشاهدة عمليا هي Q₁₀₀ فإن النسبة بين كل قيم Q, Q₁ تكون عددا حقيقيا قريبا من الأعداد الصحيحة الموضحة اعلاه...

Q₂/Q₁ = N_c

أما إذا كانت Q₁₀₀ غير موجودة (نتيجة أن الانعكاس ضعيف الشدة أو أنه أحد الانعكاسات الغائبة نتيجة المجموعة الفراغية فإن  Q/Q₁تكون قيمة حقيقية تعطى بالمعادلة:

وحاصل ضرب هذه النسب بأحد قيم N_C المسموح بها يكون الحصول على مجموعة من القيم قريبة من الأعداد الصحيحة المتوقعة.

(Q/Q₁) N = N'

وتجب الإشارة إلى أن قيم N_c تعتمد على نوع الشبيكة...

المكعب البسيط (simple cubic) تكون:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,...

المكعب متمركز الوسط Body cantered cubic) تكون:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,...

المكعب متمركز الأوجه Face cantered cubic) تكون:

3, 4, 8, 11, 12, 16, ...

المكعب الماسي Diamond cubic) تكون:

3, 8, 11, 16, ...

ويمكن اختبار كل مجموعة على حدة فإذا لم نجد مجموعة أعداد صحيحة يمكن أن تتفق مع (33-10) فهذا يعني أن العينة لا تتبع النظام المكعبي ويجب اختبار نظم بلورية أخرى مثل الرباعي أو السداسي أو غير ذلك.

مثال:

فيما يلي نجد مجموعة من قيم θsin² تم قياسها من أحد أشكال الحيود:

وبقسمة كل قيم θsin² على أصغر قيمة وهي 0.140 نحصل على القيم:

1; 1.321; 2.635; 3.592; 3.914; 5.186; 6.150

وبضرب هذه القيم في العدد 3 نحصل على:

3;4; 8; 11; 12; 16; 19

وهذا يبين أن البلورات لهذه العينة على شكل مكعب متمركز الأوجه وأن إحداثيات ميلر لهذه الانعكاسات كما هو في الجدول التالي:

جدول (5-10)

البلورات غير المكعبة:

الطريقة التحليلية لتعيين الإحداثيات للانعكاسات من هذه البلورات تتضمن معالجة رياضية لقيم θsin² المشاهدة عمليا لمحاولة إيجاد علاقات معينة بين هذه القيم، وبما أن كل نظام بلوري يكون مميزا بعلاقات معينة بين هذه القيم فإن تعيين (معرفة) هذه العلاقة يكون الوسيلة للتعرف على النظام البلوري ومنه يمكن أن نصل إلى معرفة إحداثيات الانعكاسات.

النظام الرباعي:

في هذا النظام لابد لقيم θsin² أن تتبع العلاقة:

حيث ²a4/λ =A ، ²c²/4λ = C هي كميات ثابتة لكل شكل للحيود وتكون المشكلة هي معرفة هذه الثوابت لأن معرفتها تقود لمعرفة أبعاد الوحدة البنائيةa ، c وبالتالي حساب إحداثيات ميلر. قيمة A يمكن الحصول عليها من انعكاسات من النوع h k o عندما تكون o = l حيث تصبح المعادلة (36-10) كالآتي:

والقيم المسموح بها لـ (k²+h²) هي .... ,1,2,4,5,8 (الجدول 9-10)؛

ولذلك فإن الانعكاسات من النوع hko لا بد أن تحتوي على قيم θsin² يكون بينها النسب المذكورة وA ستكون أعداد لهذه الانعكاسات عبارة عن أجزاء من قيم θsin² مساوية لـ  منها:

أما C فنحصل عليها من انعكاسات أخرى حسب المعادلة (36-10) كالآتي:

والقيم في الطرف الأيسر لهذه المعادلة (وهي عبارة عن حاصل طرح كميتين) يمكن الحصول عليها بافتراض قيم لـ h، k وذلك في محاولة للحصول على قيم Cl² نكون بينها نسب مساوية للأعداد etc ...1, 4, 9, 16 فإذا أمكن الحصول على هذه القيم يمكن حساب C.

النظام السداسي:

في هذا النظام تحسب قيمة sin²θ بالمعادلة الآتية:

والقيم المسموح بها للكمية k²+h²+hk موضحة بالجدول التالي:

جدول (10-6)

وهي الاعداد 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, … (انظر جدول 10-10)

طريقة تعيين الإحداثيات للانعكاسات يمكن توضيحها بالمثل التالي وهو لشكل الحيود من مادة الزنك.

1 - نقوم بقسمة قيم θsin² على الأعداد .... 1, 3, 4,

2 - نفحص القيم (جدول 7-10) للبحث عن قيم تكون متساوية وفي هذه الحالة نجد القيمتين 0.111، 0.112 أكثر القيم تقاربا، وعلى هذا يمكن افتراض أن الانعكاسين رقمي 2، 5 من النوع h k o.

3 - نحدد قيم A بالعدد 0.112 وهذا يعني أن الانعكاس رقم 2 هو 100.

4 - حيث إن قيمة θsin² للانعكاس رقم 5 لها قيمة قريبة جدا من ثلاثة أضعاف تلك الخاصة بالانعكاس رقم 2 فإن هذا يعني أن الانعكاس رقم 5 لا بد وأن يكون هو الانعكاس 110.

5 - لاستنتاج قيمة C يجب أن نستخدم المعادلة:

ولهذا نقوم بطرح من كل قيمة لـ θsin² الكميات الآتية:

ثم نفحص القيم المتبقية بعد الطرح بحثا عن قيم تكون متناسبة مع الأعداد .... 1, 3, 4, 16, والجدول (7-10) يوضح أنه توجد أعداد قريبة جدا من هذه النسب هي الأعداد الآتية:

وهذا يعطينا قيمة C مساوية للكمية 0.024 ويعرف الانعكاس الأول على أنه 002 والانعكاس رقم 6 على أنه 004، وحيث إن الانعكاس رقم 3 تكون قيمة θsin² له مساوية لمجموع C ، A لذلك فإن إحداثياته ستكون 101.

وبالمثل الانعكاسين 4، 5 نكون إحداثياتهما هي 102، 103 بالترتيب.

جدول (7-10)

جدول (8-10)

النظام المعيني القائم:

في هذا النظام تكون معادلة θsin² كالآتي:

وعملية تحديد الإحداثيات تكون معقدة ذلك لأنه يكون المطلوب تعيين ثلاثة ثوابت هي C، B ، A والخطوات المتبعة تكون طويلة لدرجة كبيرة يصعب شرحها في هذا المجال.

وعلى أية حال فإنه قد أمكن تحديد إحداثيات ميلر للانعكاسات في أشكال حيود كثيرة تابعة للنظام المعيني القائم.

النظام أحادي الميل وثلاثي الميل:

هذه النظم تتضمن أربعة أو ستة ثوابت يجب تعيينها أولا، ومثل هذه الأشكال للحيود نادرا ما أمكن تعيين إحداثيات انعكاساتها إلا بمعاونة الحاسب الآلي.

جدول (9-10)

جدول يوضح قيم N في حالة النظام الرباعي (²k+²h =NT)

جدول (10-10)

جدول يوضح قيم N في حالة النظام السداسي للانعكاسات hko

N_H=h² + hk + k²