المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
التركيب الاقتصادي لسكان الوطن العربي
2024-11-05
الامطار في الوطن العربي
2024-11-05
ماشية اللحم في استراليا
2024-11-05
اقليم حشائش السافانا
2024-11-05
اقليم الغابات المعتدلة الدافئة
2024-11-05
ماشية اللحم في كازاخستان (النوع كازاك ذو الرأس البيضاء)
2024-11-05


Least Squares Fitting--Perpendicular Offsets  
  
1237   04:44 مساءً   date: 28-3-2021
Author : Sardelis, D. and Valahas, T.
Book or Source : "Least Squares Fitting-Perpendicular Offsets." https://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/5292/.
Page and Part : ...


Read More
Date: 3-5-2021 1810
Date: 15-4-2021 1730
Date: 21-3-2021 1429

Least Squares Fitting--Perpendicular Offsets

LeastSquaresOffsets

In practice, the vertical offsets from a line (polynomial, surface, hyperplane, etc.) are almost always minimized instead of the perpendicular offsets. This provides a fitting function for the independent variable X that estimates y for a given x (most often what an experimenter wants), allows uncertainties of the data points along the x- and y-axes to be incorporated simply, and also provides a much simpler analytic form for the fitting parameters than would be obtained using a fit based on perpendicular offsets.

The residuals of the best-fit line for a set of n points using unsquared perpendicular distances d_i of points (x_i,y_i) are given by

 R__|_=sum_(i=1)^nd_i.

(1)

Since the perpendicular distance from a line y=a+bx to point i is given by

 d_i=(|y_i-(a+bx_i)|)/(sqrt(1+b^2)),

(2)

the function to be minimized is

 R__|_=sum_(i=1)^n(|y_i-(a+bx_i)|)/(sqrt(1+b^2)).

(3)

Unfortunately, because the absolute value function does not have continuous derivatives, minimizing R__|_ is not amenable to analytic solution. However, if the square of the perpendicular distances

 R__|_^2=sum_(i=1)^n([y_i-(a+bx_i)]^2)/(1+b^2)

(4)

is minimized instead, the problem can be solved in closed form. R__|_^2 is a minimum when

 (partialR__|_^2)/(partiala)=2/(1+b^2)sum_(i=1)^n[y_i-(a+bx_i)](-1)=0

(5)

and

 (partialR__|_^2)/(partialb)=2/(1+b^2)sum_(i=1)^n[y_i-(a+bx_i)](-x_i)+sum_(i=1)^n([y_i-(a+bx_i)]^2(-1)(2b))/((1+b^2)^2)=0.

(6)

The former gives

a = (sum_(i=1)^(n)y_i-bsum_(i=1)^(n)x_i)/n

(7)

= y^_-bx^_,

(8)

and the latter

 (1+b^2)sum_(i=1)^n[y_i-(a+bx_i)]x_i+bsum_(i=1)^n[y_i-(a+bx_i)]^2=0.

(9)

But

[y-(a+bx)]^2 = y^2-2(a+bx)y+(a+bx)^2

(10)

= y^2-2ay-2bxy+a^2+2abx+b^2x^2,

(11)

so (10) becomes

(1+b^2)(sum_(i=1)^(n)x_iy_i-asum_(i=1)^(n)x_i-bsum_(i=1)^(n)x_i^2)+b(sum_(i=1)^(n)y_i^2-2asum_(i=1)^(n)y_i-2bsum_(i=1)^(n)x_iy_i+a^2sum_(i=1)^(n)1+2absum_(i=1)^(n)x_i+b^2sum_(i=1)^(n)x_i^2)=0

(12)

[(1+b^2)(-b)+b(b^2)]sum_(i=1)^(n)x_i^2+[(1+b^2)-2b^2]sum_(i=1)^(n)x_iy_i+bsum_(i=1)^(n)y_i^2+[-a(1+b^2)+2ab^2]sum_(i=1)^(n)x_i-2absum_(i=1)^(n)y_i+ba^2sum_(i=1)^(n)1=0

(13)

-bsum_(i=1)^(n)x_i^2+(1-b^2)sum_(i=1)^(n)x_iy_i+bsum_(i=1)^(n)y_i^2+a(b^2-1)sum_(i=1)^(n)x_i-2absum_(i=1)^(n)y_i+ba^2n=0.

(14)

Plugging (◇) into (14) then gives

 -bsum_(i=1)^nx_i^2+(1-b^2)sum_(i=1)^nx_iy_i+bsum_(i=1)^ny_i^2+1/n(b^2-1)(sum_(i=1)^ny_i-bsum_(i=1)^nx_i)sum_(i=1)^nx_i-2/n(sum_(i=1)^ny_i-bsum_(i=1)^nx_i)bsum_(i=1)^ny_i+b/n(sum_(i=1)^ny_i-bsum_(i=1)^nx_i)^2 
=0

(15)

After a fair bit of algebra, the result is

 b^2+(sum_(i=1)^(n)y_i^2-sum_(i=1)^(n)x_i^2+1/n[(sum_(i=1)^(n)x_i)^2-(sum_(i=1)^(n)y_i)^2])/(1/nsum_(i=1)^(n)x_isum_(i=1)^(n)y_i-sum_(i=1)^(n)x_iy_i)b-1=0.

(16)

So define

B = 1/2([sum_(i=1)^ny_i^2-1/n(sum_(i=1)^ny_i)^2]-[sum_(i=1)^nx_i^2-1/n(sum_(i=1)^nx_i)^2])/(1/nsum_(i=1)^nx_isum_(i=1)^ny_i-sum_(i=1)^nx_iy_i)

(17)

= 1/2((sum_(i=1)^ny_i^2-ny^_^2)-(sum_(i=1)^nx_i^2-nx^_^2))/(nx^_y^_-sum_(i=1)^nx_iy_i),

(18)

and the quadratic formula gives

 b=-B+/-sqrt(B^2+1),

(19)

with a found using (◇). Note the rather unwieldy form of the best-fit parameters in the formulation. In addition, minimizing R__|_^2 for a second- or higher-order polynomial leads to polynomial equations having higher order, so this formulation cannot be extended.


REFERENCES:

Sardelis, D. and Valahas, T. "Least Squares Fitting-Perpendicular Offsets." https://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/5292/.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.