If  is a root of a nonzero polynomial equation

(1)

where the s are integers (or equivalently, rational numbers) and  satisfies no similar equation of degree , then  is said to be an algebraic number of degree .

A number that is not algebraic is said to be transcendental. If  is an algebraic number and , then it is called an algebraic integer.

In general, algebraic numbers are complex, but they may also be real. An example of a complex algebraic number is , and an example of a real algebraic number is , both of which are of degree 2.

The set of algebraic numbers is denoted  (Wolfram Language), or sometimes  (Nesterenko 1999), and is implemented in the Wolfram Language as Algebraics.

A number  can then be tested to see if it is algebraic in the Wolfram Language using the command Element[x, Algebraics]. Algebraic numbers are represented in the Wolfram Language as indexed polynomial roots by the symbol Root[f, n], where  is a number from 1 to the degree of the polynomial (represented as a so-called "pure function") .

Examples of some significant algebraic numbers and their degrees are summarized in the following table.

constant	degree
Conway's constant	71
Delian constant	3
disk covering problem	8
Freiman's constant	2
golden ratio	2
golden ratio conjugate	2
Graham's biggest little hexagon area	10
hard hexagon entropy constant	24
heptanacci constant	7
hexanacci constant	6
i	2
Lieb's square ice constant	2
logistic map 3-cycle onset	2
logistic map 4-cycle onset	2
logistic map 5-cycle onset	22
logistic map 6-cycle onset	40
logistic map 7-cycle onset	114
logistic map 8-cycle onset	12
logistic map 16-cycle onset	240
pentanacci constant	5
plastic constant	3
Pythagoras's constant	2
silver constant	3
silver ratio	2
tetranacci constant	4
Theodorus's constant	2
tribonacci constant	3
twenty-vertex entropy constant	2
Wallis's constant	3

If, instead of being integers, the s in the above equation are algebraic numbers , then any root of

(2)

is an algebraic number.

If  is an algebraic number of degree  satisfying the polynomial equation

(3)

then there are  other algebraic numbers , , ... called the conjugates of . Furthermore, if  satisfies any other algebraic equation, then its conjugates also satisfy the same equation (Conway and Guy 1996).

REFERENCES:

Conway, J. H. and Guy, R. K. "Algebraic Numbers." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 189-190, 1996.

Courant, R. and Robbins, H. "Algebraic and Transcendental Numbers." §2.6 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 103-107, 1996.

Ferreirós, J. "The Emergence of Algebraic Number Theory." §3.3 in Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Basel, Switzerland: Birkhäuser, pp. 94-99, 1999.

Hancock, H. Foundations of the Theory of Algebraic Numbers, Vol. 1: Introduction to the General Theory. New York: Macmillan, 1931.

Hancock, H. Foundations of the Theory of Algebraic Numbers, Vol. 2: The General Theory. New York: Macmillan, 1932.

Koch, H. Number Theory: Algebraic Numbers and Functions. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.

Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, p. 35, 1951.

Narkiewicz, W. Elementary and Analytic Number Theory of Algebraic Numbers. Warsaw: Polish Scientific Publishers, 1974.

Nesterenko, Yu. V. A Course on Algebraic Independence: Lectures at IHP 1999. Unpublished manuscript. 1999.

Wagon, S. "Algebraic Numbers." §10.5 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 347-353, 1991.

Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1168, 2002.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم شؤون المعارف يطلق دورة (صفات الشيعة) لعدد من ملاكات العتبة العباسية المقدسة

الهيأة العليا لإحياء التراث تبحث تعزيز التعاون المشترك مع مركز الإمام الباقر (عليه السلام) في إيران

جامعة الكفيل تكرِّم طلبتها المتميزين من ذوي الاحتياجات الخاصة

فريق طبي في مستشفى الكفيل يجري عملية ناجحة لطفل يعاني من تشوّه ولاديّ بالنخاع الشوكي

المزيد

الآخبار الصحية

خصوصا مع تقدم السن.. 6 سلوكيات يومية قد تدمّر صحتك

فاكهة خضراء.. علاج طبيعي فعّال للإمساك واضطرابات الهضم

روسيا تبدأ أولى التجارب السريرية للقاح واعد ضد السرطان

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

رصد نوع نادر من القطط في تايلاند للمرة الأولى منذ عقود

روسيا تخطط لإقامة محطة نووية في القمر خلال العقد المقبل

كيف قاد إيلون ماسك حملة "غروك" لاختراق عرش الذكاء الاصطناعي

ألتمان: الذكاء الاصطناعي سيتجاوز البشر في 2026 !

المزيد