المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
ماشية اللحم في الولايات المتحدة الأمريكية
2024-11-05
أوجه الاستعانة بالخبير
2024-11-05
زكاة البقر
2024-11-05
الحالات التي لا يقبل فيها الإثبات بشهادة الشهود
2024-11-05
إجراءات المعاينة
2024-11-05
آثار القرائن القضائية
2024-11-05

التعريف بالمفقود
5-2-2016
Radionuclides
29-10-2015
The short vowels GOAT
2024-04-19
تقديم الأفضل على المفضول
24-09-2014
صلاة المتوحل والغريق والحائض والسابح
2024-10-30
تقدير اجرة المتولي
6-2-2016

Twin Peaks  
  
610   03:18 مساءً   date: 21-1-2021
Author : Sloane, N. J. A
Book or Source : Sequence A009190 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Page and Part : ...


Read More
Date: 12-8-2020 968
Date: 23-11-2020 552
Date: 15-12-2020 756

Twin Peaks

For an integer n>=2, let lpf(n) denote the least prime factor of n. A pair of integers (x,y) is called a twin peak if

1. x<y,

2. lpf(x)=lpf(y),

3. For all zx<z<y implies lpf(z)<lpf(x).

A broken-line graph of the least prime factor function resembles a jagged terrain of mountains. In terms of this terrain, a twin peak consists of two mountains of equal height with no mountain of equal or greater height between them. Denote the height of twin peak (x,y) by p=lpf(x)=lpf(y). By definition of the least prime factor function, p must be prime.

Call the distance between two twin peaks (x,y)

 s=y-x.

(1)

Then s must be an even multiple of p; that is, s=kp where k is even. A twin peak with s=kp is called a kp-twin peak. Thus we can speak of 2p-twin peaks, 4p-twin peaks, etc. A kp-twin peak is fully specified by kp, and x, from which we can easily compute y=x+kp.

The set of kp-twin peaks is periodic with period q=p#, where p# is the primorial of p. That is, if (x,y) is a kp-twin peak, then so is (x+q,y+q). A fundamental kp-twin peak is a twin peak having x in the fundamental period [0,q). The set of fundamental kp-twin peaks is symmetric with respect to the fundamental period; that is, if (x,y) is a twin peak on [0,q), then so is (q-y,q-x).

The question of the existence of twin peaks was first raised by David Wilson (pers. comm., Feb. 10, 1997). Wilson already had privately showed the existence of twin peaks of height p<=13 to be unlikely, but was unable to rule them out altogether. Later that same day, John H. Conway, Johan de Jong, Derek Smith, and Manjul Bhargava collaborated to discover the first twin peak. Two hours at the blackboard revealed that p=113 admits the 2p-twin peak

 x=126972592296404970720882679404584182254788131,

(2)

which settled the existence question. Immediately thereafter, Fred Helenius found the smaller 2p-twin peak with p=89 and

 x=9503844926749390990454854843625839.

(3)

The effort now shifted to finding the least prime p admitting a 2p-twin peak. On Feb. 12, 1997, Fred Helenius found p=71, which admits 240 fundamental 2p-twin peaks, the least being

 x=7310131732015251470110369.

(4)

Helenius's results were confirmed by Dan Hoey, who also computed the least 2p-twin peak L(2p) and number of fundamental 2p-twin peaks N(2p) for p=73, 79, and 83. His results are summarized in the following table (OEIS A009190).

p L(2p) N(2p)
71 7310131732015251470110369 240
73 2061519317176132799110061 40296
79 3756800873017263196139951 164440
83 6316254452384500173544921 6625240

The 2p-twin peak of height p=73 is the smallest known twin peak. Wilson found the smallest known 4p-twin peak with p=1327, as well as another very large 4p-twin peak with p=3203. Richard Schroeppel noted that the latter twin peak is at the high end of its fundamental period and that its reflection within the fundamental period [0,p#) is smaller.

Many open questions remain concerning twin peaks, e.g.,

1. What is the smallest twin peak (smallest n)?

2. What is the least prime p admitting a 4p-twin peak?

3. Do 6p-twin peaks exist?

4. Is there, as Conway has argued, an upper bound on the span of twin peaks?

5. Let p<q<r be prime. If p and r each admit kp-twin peaks, does q then necessarily admit a kp-twin peak?


REFERENCES:

Sloane, N. J. A. Sequence A009190 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.