تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Eulerian Number
المؤلف:
Abramson, M. and Moser, W. O. J.
المصدر:
"Permutations without Rising or Falling omega-Sequences." Ann. Math. Statist. 38
الجزء والصفحة:
...
7-1-2021
2814
Eulerian Number
The Eulerian number gives the number of permutations of
{1,2,...,n}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/EulerianNumber/Inline2.gif" style="height:15px; width:69px" /> having
permutation ascents (Graham et al. 1994, p. 267). Note that a slightly different definition of Eulerian number is used by Comtet (1974), who defines the Eulerian number
(sometimes also denoted
) as the number of permutation runs of length
, and hence
.
The Eulerian numbers are given explicitly by the sum
![]() |
(1) |
(Comtet 1974, p. 243). The Eulerian numbers satisfy the sum identity
![]() |
(2) |
as well as Worpitzky's identity
![]() |
(3) |
Eulerian numbers also arise in the surprising context of integrating the sinc function, and also in sums of the form
![]() |
![]() |
![]() |
(4) |
![]() |
![]() |
![]() |
(5) |
where is the polylogarithm function.
is therefore given by the coefficient of
in
![]() |
(6) |
has the exponential generating function
![]() |
(7) |
The Eulerian numbers satisfy the recurrence relation
![]() |
(8) |
Special cases are given by
![]() |
![]() |
![]() |
(9) |
![]() |
![]() |
![]() |
(10) |
![]() |
![]() |
![]() |
(11) |
and summarized in the following table.
![]() |
OEIS | ![]() ![]() ![]() |
1 | A000295 | 0, 1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, ... |
2 | A000460 | 0, 0, 1, 11, 66, 302, 1191, 4293, 14608, ... |
3 | A000498 | 0, 0, 0, 1, 26, 302, 2416, 15619, 88234, ... |
The arrangement of the numbers into a triangle gives Euler's number triangle
![]() |
(12) |
(OEIS A008292). Therefore, the Eulerian numbers represent a sort of generalization of the binomial coefficients where the defining recurrence relation weights the sum of neighbors by their row and column numbers, respectively.
REFERENCES:
Abramson, M. and Moser, W. O. J. "Permutations without Rising or Falling -Sequences." Ann. Math. Statist. 38, 1245-1254, 1967.
André, D. "Mémoir sur les couples actifs de permutations." Mem. della Pontificia Acad. Romana dei Nuovo Lincei 23, 189-223, 1906.
Carlitz, L. "Note on a Paper of Shanks." Amer. Math. Monthly 59, 239-241, 1952.
Carlitz, L. "Eulerian Numbers and Polynomials." Math. Mag. 32, 247-260, 1959.
Carlitz, L. "Eulerian Numbers and Polynomials of Higher Order." Duke Math. J. 27, 401-423, 1960.
Carlitz, L. "A Note on the Eulerian Numbers." Arch. Math. 14, 383-390, 1963.
Carlitz, L. and Riordan, J. "Congruences for Eulerian Numbers." Duke Math. J. 20, 339-343, 1953.
Carlitz, L.; Roselle, D. P.; and Scoville, R. "Permutations and Sequences with Repetitions by Number of Increase." J. Combin. Th. 1, 350-374, 1966.
Cesàro, E. "Dérivées des fonctions de fonctions." Nouv. Ann. 5, 305-327, 1886.
Comtet, L. "Permutations by Number of Rises; Eulerian Numbers." §6.5 in Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, pp. 51 and 240-246, 1974.
David, F. N.; Kendall, M. G.; and Barton, D. E. Symmetric Function and Allied Tables. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 260, 1966.
Dillon, J. F.; Roselle, D. P. "Eulerian Numbers of Higher Order." Duke Math. J. 35, 247-256, 1968.
Foata, D. and Schützenberger, M.-P. Théorie géométrique des polynômes Eulériens. Berlin: Springer-Verlag, 1970.
Frobenius, F. G. "Ueber die Bernoullischen Zahlen und die Eulerischen Polynome." Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., pp. 808-847, 1910.
Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. "Eulerian Numbers." §6.2 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 267-272, 1994.
Kimber, A. C. "Eulerian Numbers." Supplement to Encyclopedia of Statistical Sciences. (Ed. S. Kotz, N. L. Johnson, and C. B. Read). New York: Wiley, pp. 59-60, 1989.
Poussin, F. "Sur une propriété arithmétique de certains polynomes associés aux nombres d'Euler." C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 266, A392-A393, 1968.
Salama, I. A. and Kupper, L. L. "A Geometric Interpretation for the Eulerian Numbers." Amer. Math. Monthly 93, 51-52, 1986.
Schrutka, L. "Eine neue Einleitung der Permutationen." Math. Ann. 118, 246-250, 1941.
Shanks, E. B. "Iterated Sums of Powers of the Binomial Coefficients." Amer. Math. Monthly 58, 404-407, 1951.
Sloane, N. J. A. Sequences A000295/M3416, A000460/M4795, A000498/M5188, and A008292 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Tomić, M. "Sur une nouvelle classe de polynômes de la théorie des fonctions spéciales." Publ. Fac. Elect. U. Belgrade, No. 38, 1960.
Toscano, L. "Su due sviluppi della potenza di un binomio, -coefficienti di Eulero." Bull. S. M. Calabrese 16, 1-8, 1965.
الاكثر قراءة في نظرية الاعداد
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة

الآخبار الصحية
