المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المناخ المداري وفصل جاف قصير (الموسمي) Am Tropical Short Dry Season (Monsoon)
2024-11-14
المناخ الموسمي للهند Indian Monsoon
2024-11-14
أمريكا الجنوبية South America
2024-11-14
عنصر النحاس وتأثير زيادة ونقصانه على أشجار الفاكهة
2024-11-14
تصنيف كوبن Koppen Classification
2024-11-14
أهم مصطلحات المناخ Climatic Vocabulary
2024-11-14


Znám,s Problem  
  
1135   05:10 مساءً   date: 2-12-2020
Author : Brenton, L. and Jaje, L
Book or Source : "Perfectly Weighted Graphs." Graphs Combin. 17
Page and Part : ...


Read More
Date: 19-11-2020 890
Date: 24-2-2020 627
Date: 13-2-2020 1554

Znám's Problem

A problem posed by the Slovak mathematician Stefan Znám in 1972 asking whether, for all integers k>=2, there exist k integers x_1,...,x_k all greater than 1 such that x_i is a proper divisor of x_1...x_k/x_i+1 for each i=1,...,k. The answer is negative for 2<=k<=4 (Jának and Skula 1978) and affirmative for k>=5 (Sun Qi 1983). Sun Qi also gave a lower bound for the number Z(k) of solutions.

All solutions for 5<=k<=8 have now been computed, summarized in the table below. The numbers of solutions for n=2, 3, ... terms are 0, 0, 0, 2, 5, 15, 93, ... (OEIS A075441), and the solutions themselves are given by OEIS A075461.

k Z(k) known solutions x_1,...,x_k references
2 0 -- Jának and Skula (1978)
3 0 -- Jának and Skula (1978)
4 0 -- Jának and Skula (1978)
5 2 2, 3, 7, 47, 395  
    2, 3, 11, 23, 31  
6 5 2, 3, 7, 43, 1823, 193667  
    2, 3, 7, 47, 403, 19403  
    2, 3, 7, 47, 415, 8111  
    2, 3, 7, 47, 583, 1223  
    2, 3, 7, 55, 179, 24323  
7 15 2, 3, 7, 43, 1807, 3263447, 2130014000915 Jának and Skula (1978)
    2, 3, 7, 43, 1807, 3263591, 71480133827 Cao, Liu, and Zhang (1987)
    2, 3, 7, 43, 1807, 3264187, 14298637519  
    2, 3, 7, 43, 3559, 3667, 33816127  
    2, 3, 7, 47, 395, 779831, 6020372531  
    2, 3, 7, 67, 187, 283, 334651  
    2, 3, 11, 17, 101, 149, 3109  
    2, 3, 11, 23, 31, 47063, 442938131  
    2, 3, 11, 23, 31, 47095, 59897203  
    2, 3, 11, 23, 31, 47131, 30382063  
    2, 3, 11, 23, 31, 47243, 12017087  
    2, 3, 11, 23, 31, 47423, 6114059  
    2, 3, 11, 23, 31, 49759, 866923  
    2, 3, 11, 23, 31, 60563, 211031  
    2, 3, 11, 31, 35, 67, 369067  
8 93   Brenton and Vasiliu (1998)
9 ? 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, Sun (1983)
    10650056950807,  
    113423713055421844361000447,  
    2572987736655734348107429290411162753668127385839515  
10 ? 2, 3, 11, 23, 31, 47059, Sun (1983)
    2214502423, 4904020979258368507,  
    24049421765006207593444550012151040547,  
    115674937446230858658157460659985774139375256845351399814552547262816571295  

Cao and Sun (1988) showed that Z(11)>=5 and Cao and Jing (1998) that there are >=39 solutions for n>=12. A solution for k=13 was found by Girgensohn in 1996: 3, 4, 5, 7, 29, 41, 67, 89701, 230865947737, 5726348063558735709083, followed by large numbers having 45, 87, and 172 digits.

It has been observed that all known solutions to Znám's problem provide a decomposition of 1 as an Egyptian fraction

 1/(x_1)+1/(x_2)+...+1/(x_k)+1/(x_1...x_k)=1.

Conversely, every solution to this Diophantine equation is a solution to Znám's problem, unless x_i=x_1...x_k/x_i+1 for some i.


REFERENCES:

Brenton, L. and Jaje, L. "Perfectly Weighted Graphs." Graphs Combin. 17, 389-407, 2001.

Brenton, L, and Vasiliu, A. "Znam's Problem." Math. Mag. 75, 3-11, 2002.

Cao, Z. and Jing, C. "On the Number of Solutions of Znám's Problem." J. Harbin Inst. Tech. 30, 46-49, 1998.

Cao, Z. and Sun, Q. "On the Equation sum_(j=1)^(s)1/x_1...x_s=n and the Number of Solutions of Znám's Problem." Northeast. Math. J. 4, 43-48, 1988.

Cao, Z.; Liu, R.; and Zhang, L. "On the Equation sum_(j=1)^(s)(1/x_j)+(1/(x_1...x_s))=1 and Znám's Problem. J. Number Th. 27, 206-211, 1987.

Jának, J. and Skula, L. "On the Integers x_i for which x_i|x_1...x_(i-1)x_i...x_n+1 Holds." Math. Slovaca 28, 305-310, 1978.

Sloane, N. J. A. Sequences A075441 and A075461 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Sun, Q. "On a Problem of Š. Znám." Sichuan Daxue Xuebao, No. 4, 9-12, 1983.

Wayne State University Undergraduate Mathematics Research Group. "The Egyptian Fraction: The Unit Fraction Equation." https://www.math.wayne.edu/ugresearch/egyfra.html.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.