المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية

انسياب لاحق afterflow
15-10-2017
تحليل آية البسملة {بِسْمِ اللهِ الرَّحْمنِ الرَّحِيمِ }
2024-05-09
عبد الاَعلى بن أعين
10-9-2016
الرِّضَا بِالْقَضَاءِ - بحث روائي
29-7-2016
التوقيعات الواردة منه (عجل الله فرجه)
3-08-2015
معنى كلمة أجر
13-4-2022

Wieferich Prime  
  
650   04:31 مساءً   date: 31-8-2020
Author : Brillhart, J.; Tonascia, J.; and Winberger, P.
Book or Source : "On the Fermat Quotient." In Computers and Number Theory (Ed. A. O. L. Atkin and B. J. Birch). New York: Academic Press
Page and Part : ...


Read More
Date: 28-5-2020 920
Date: 28-8-2020 896
Date: 24-1-2021 971

Wieferich Prime

A Wieferich prime is a prime p which is a solution to the congruence equation

 2^(p-1)=1 (mod p^2).

(1)

Note the similarity of this expression to the special case of Fermat's little theorem

 2^(p-1)=1 (mod p),

(2)

which holds for all odd primes. The first few Wieferich primes are 1093, 3511, ... (OEIS A001220), with none other less than 4×10^(12) (Lehmer 1981, Crandall 1986, Crandall et al. 1997), a limit since increased to 1.25×10^(15) (McIntosh 2004) and subsequently to 4.968543×10^(17) by PrimeGrid as of November 2015.

Interestingly, one less than these numbers have suggestive periodic binary representations

1092 = 10001000100_2

(3)

3510 = 110110110110_2

(4)

(Johnson 1977).

If the first case of Fermat's last theorem is false for exponent p, then p must be a Wieferich prime (Wieferich 1909). If p|2^n+/-1 with p and n relatively prime, then p is a Wieferich prime iff p^2 also divides 2^n+/-1. The conjecture that there are no three consecutive powerful numbers implies that there are infinitely many non-Wieferich primes (Granville 1986; Ribenboim 1996, p. 341; Vardi 1991). In addition, the abc conjecture implies that there are at least Clnx non-Wieferich primes <=x for some constant C (Silverman 1988, Vardi 1991).


REFERENCES:

Brillhart, J.; Tonascia, J.; and Winberger, P. "On the Fermat Quotient." In Computers and Number Theory (Ed. A. O. L. Atkin and B. J. Birch). New York: Academic Press, pp. 213-222, 1971.

Crandall, R. Projects in Scientific Computation. New York: Springer-Verlag, 1986.

Crandall, R.; Dilcher, K; and Pomerance, C. "A Search for Wieferich and Wilson Primes." Math. Comput. 66, 433-449, 1997.

Dobeš, J. "elMath.org: Project Wieferich@Home." https://elmath.org/.

Goldfeld, D. "Modular Forms, Elliptic Curves and the ABC-Conjecture." https://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf.

Granville, A. "Powerful Numbers and Fermat's Last Theorem." C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 8, 215-218, 1986.

Guy, R. K. §A3 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1994.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. Th. 91 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, 1979.

Johnson, W. "On the Nonvanishing of Fermat Quotients (mod p)." J. reine angew. Math. 292, 196-200, 1977.

Lehmer, D. H. "On Fermat's Quotient, Base Two." Math. Comput. 36, 289-290, 1981.

McIntosh, R. email to Paul Zimmermann. 9 Mar 2004. https://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status.

Montgomery, P. "New Solutions of a^(p-1)=1 (mod p^2)." Math. Comput. 61, 361-363, 1991.

PrimeGrid PRPNet. "Wieferich Prime Search." https://prpnet.primegrid.com:13000.

Ribenboim, P. "Wieferich Primes." §5.3 in The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, pp. 333-346, 1996.

Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 116 and 157, 1993.

Silverman, J. "Wieferich's Criterion and the abc Conjecture." J. Number Th. 30, 226-237, 1988.

Sloane, N. J. A. Sequence A001220 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Vardi, I. "Wieferich." §5.4 in Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 59-62 and 96-103, 1991.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 163, 1986.

Wieferich, A. "Zum letzten Fermat'schen Theorem." J. reine angew. Math. 136, 293-302, 1909.

 




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.