A Wieferich prime is a prime  which is a solution to the congruence equation

(1)

Note the similarity of this expression to the special case of Fermat's little theorem

(2)

which holds for all odd primes. The first few Wieferich primes are 1093, 3511, ... (OEIS A001220), with none other less than  (Lehmer 1981, Crandall 1986, Crandall et al. 1997), a limit since increased to  (McIntosh 2004) and subsequently to  by PrimeGrid as of November 2015.

Interestingly, one less than these numbers have suggestive periodic binary representations

			(3)
			(4)

(Johnson 1977).

If the first case of Fermat's last theorem is false for exponent , then  must be a Wieferich prime (Wieferich 1909). If  with  and  relatively prime, then  is a Wieferich prime iff  also divides . The conjecture that there are no three consecutive powerful numbers implies that there are infinitely many non-Wieferich primes (Granville 1986; Ribenboim 1996, p. 341; Vardi 1991). In addition, the abc conjecture implies that there are at least  non-Wieferich primes  for some constant  (Silverman 1988, Vardi 1991).

REFERENCES:

Brillhart, J.; Tonascia, J.; and Winberger, P. "On the Fermat Quotient." In Computers and Number Theory (Ed. A. O. L. Atkin and B. J. Birch). New York: Academic Press, pp. 213-222, 1971.

Crandall, R. Projects in Scientific Computation. New York: Springer-Verlag, 1986.

Crandall, R.; Dilcher, K; and Pomerance, C. "A Search for Wieferich and Wilson Primes." Math. Comput. 66, 433-449, 1997.

Dobeš, J. "elMath.org: Project Wieferich@Home." https://elmath.org/.

Goldfeld, D. "Modular Forms, Elliptic Curves and the -Conjecture." https://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf.

Granville, A. "Powerful Numbers and Fermat's Last Theorem." C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 8, 215-218, 1986.

Guy, R. K. §A3 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1994.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. Th. 91 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, 1979.

Johnson, W. "On the Nonvanishing of Fermat Quotients (mod )." J. reine angew. Math. 292, 196-200, 1977.

Lehmer, D. H. "On Fermat's Quotient, Base Two." Math. Comput. 36, 289-290, 1981.

McIntosh, R. email to Paul Zimmermann. 9 Mar 2004. https://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status.

Montgomery, P. "New Solutions of ." Math. Comput. 61, 361-363, 1991.

PrimeGrid PRPNet. "Wieferich Prime Search." https://prpnet.primegrid.com:13000.

Ribenboim, P. "Wieferich Primes." §5.3 in The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, pp. 333-346, 1996.

Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 116 and 157, 1993.

Silverman, J. "Wieferich's Criterion and the abc Conjecture." J. Number Th. 30, 226-237, 1988.

Sloane, N. J. A. Sequence A001220 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Vardi, I. "Wieferich." §5.4 in Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 59-62 and 96-103, 1991.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 163, 1986.

Wieferich, A. "Zum letzten Fermat'schen Theorem." J. reine angew. Math. 136, 293-302, 1909.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

أهالي كربلاء يحيون اليوم السابع لذكرى شهادة الإمام الحسين (عليه السلام)

مشروع أمير القراء الوطني يشهد مشاركة أكثر من 100 طالبٍ في مرحلته الثالثة

قسم الشؤون الفكرية يصدر دليلًا يوثّق القصص الفائزة في مسابقة فتوى الدفاع المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يعلن عن توفير عددٍ من المكتبات الإلكترونية المتخصّصة للمؤسّسات الدينية والمكتبات العامّة

المزيد

الآخبار الصحية

نصائح عملية للحد من التعرق المفرط في الصيف

أطباء يحذرون: مكمل غذائي شائع قد يدمر الجهاز العصبي

تحذير طبي من تأثير جانبي "غير متوقع" لحقن التخسيس

حمامات الثلج قد تكون خطيرة وأحيانا مميتة.. ما السبب؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

أكبر جدارية شمسية في العالم تدخل موسوعة غينيس.. مشروع ضخم

تسارع دوران الأرض يثير القلق.. وتحذيرات من "كوارث محتملة" ؟

"سوذبيز" تطرح أكبر قطعة من المريخ على الأرض في مزاد علني

أوبن أيه آي تعتزم إطلاق متصفح إنترنت يعمل بالذكاء الاصطناعي

المزيد