المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
{ان أولى الناس بإبراهيم للذين اتبعوه}
2024-10-31
{ما كان إبراهيم يهوديا ولا نصرانيا}
2024-10-31
أكان إبراهيم يهوديا او نصرانيا
2024-10-31
{ قل يا اهل الكتاب تعالوا الى كلمة سواء بيننا وبينكم الا نعبد الا الله}
2024-10-31
المباهلة
2024-10-31
التضاريس في الوطن العربي
2024-10-31

حقوق الجار
19-1-2016
ردّ أحاديث نقصان القرآن
27-11-2014
TCA) Trichloroacetic Acid)
18-8-2020
Aminoacyl tRNA Synthetases
3-12-2015
Carl Wilhelm Borchardt
20-10-2016
الأصـول غيـر المتـداولـة Non - Current Assets
2023-10-15

Madelung Constants  
  
1380   05:09 مساءً   date: 24-8-2020
Author : Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Crandall, R. E.; and Zucker, I. J.
Book or Source : "Lattice Sums Arising from the Poisson Equation." J. Phys. A 46
Page and Part : ...


Read More
Date: 23-11-2020 1130
Date: 22-12-2020 910
Date: 27-10-2020 1632

Madelung Constants

The quantities obtained from cubic, hexagonal, etc., lattice sums, evaluated at s=1, are called Madelung constants.

For cubic lattice sums

(1)

the Madelung constants expressible in closed form for even indices n, a few examples of which are summarized in the following table, where beta(n) is the Dirichlet beta function and eta(n) is the Dirichlet eta function.

n b_n(2) OEIS constant
2 -4beta(1)eta(1)=-piln2 A086054 2.177586...
4 -8eta(1)eta(0)=-4ln2 A016639 2.772588...

To obtain the closed form for b_2(s), break up the double sum into pieces that do not include i=j=0,

(2)

(3)

(4)

where the negative sums have been reindexed to run over positive quantities. But (-1)^i=(-1)^(-i), so all the above terms can be combined into

(5)

The second of these sums can be done analytically as

 sum_(i=1)^infty((-1)^i)/(i^(2s))=-4^s(4^s-2)zeta(2s),

(6)

which in the case s=1 reduces to

 sum_(i=1)^infty((-1)^i)/(i^2)=-1/(12)pi^2.

(7)

The first sum is more difficult, but in the case s=1 can be written

 sum_(i,j=1)^infty((-1)^(i+j))/(i^2+j^2)=1/(12)pi(pi-3ln2).

(8)

Combining these then gives the original sum as

 b_2(2)=-piln2.

(9)

b_3(1) is given by Benson's formula (Borwein and Bailey 2003, p. 24)

b_3(1) =

(10)

= -12pisum_(m,n=1,3,...)^(infty)sech^2(1/2pisqrt(m^2+n^2))

(11)

= -1.74756...

(12)

(OEIS A085469), where the prime indicates that summation over (0, 0, 0) is excluded.

b_3(1)=M is sometimes called "the" Madelung constant, corresponds to the Madelung constant for a three-dimensional NaCl crystal. Crandall (1999) gave the expression

(13)

Similar results were found by Tyagi (2004),

M =

(14)

M =

(15)

M =

(16)

the last of which converges rapidly. Averaging (16) and (13) then gives the beautiful equation

(17)

which is correct to 10 decimal digits even if the sum is completely omitted (Tyagi 2004).

However, no closed form for b_3(1) is known (Bailey et al. 2006).

For hexagonal lattice sums, h_2(2) is expressible in closed form as

h_2(2) = piln3sqrt(3)

(18)

= 5.9779868...

(19)

(OEIS A086055).


REFERENCES:

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Crandall, R. E.; and Zucker, I. J. "Lattice Sums Arising from the Poisson Equation." J. Phys. A 46, 115201, 31 pp., 2013.

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; and Weisstein, E. W. "Ten Problems in Experimental Mathematics." Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006.

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.

Buhler, J. and Wagon, S. "Secrets of the Madelung Constant." Mathematica in Education and Research 5, 49-55, Spring 1996.

Crandall, R. E. "New Representations for the Madelung Constant." Exp. Math. 8, 367-379, 1999.

Crandall, R. E. and Buhler, J. P. "Elementary Function Expansions for Madelung Constants." J. Phys. Ser. A: Math. and Gen. 20, 5497-5510, 1987.

Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.

Havil, J. "Madelung's Constant." §3.4 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 33-35, 2003.

Sloane, N. J. A. Sequences A016639, A085469, A086054, and A086055 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Tyagi, S. "New Series Representation for Madelung Constant." Oct. 17, 2004. https://arxiv.org/abs/cond-mat/0410424.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.