تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Kronecker Symbol
المؤلف:
Ayoub, R. G.
المصدر:
An Introduction to the Analytic Theory of Numbers. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1963.
الجزء والصفحة:
...
23-8-2020
1106
+
-
20
Kronecker Symbol
The Kronecker symbol is an extension of the Jacobi symbol 
to all integers. It is variously written as 
or 
(Cohn 1980; Weiss 1998, p. 236) or 
(Dickson 2005). The Kronecker symbol can be computed using the normal rules for the Jacobi symbol
 |
 |
 |
(1) |
 |
 |
 |
(2) |
 |
 |
 |
(3) |
plus additional rules for 
,
|
(4) |
and 
. The definition for 
is variously written as
|
(5) |
or
|
(6) |
(Cohn 1980). Cohn's form "undefines" 
for singly even numbers 
and 
, probably because no other values are needed in applications of the symbol involving the binary quadratic form discriminants 
of quadratic fields, where 
and 
always satisfies 
.
The Kronecker symbol is implemented in the Wolfram Language as KroneckerSymbol[n, m].
The Kronecker symbol 
is a real number theoretic character modulo 
, and is, in fact, essentially the only type of real primitive character (Ayoub 1963).
The illustration above and table below summarize 
for 
, 2, ... and small 
.
 |
OEIS | period |  |
 |
A109017 | 24 | 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0,  , 0, 0, 0,  , 0,  , 0, ... |
 |
0 | 1,  , 1, 1, 0,  , 1,  , 1, 0,  , 1,  ,  , 0, 1,  ,  ,  , 0, ... |
|
 |
4 | 1, 0,  , 0, 1, 0,  , 0, 1, 0,  , 0, 1, 0,  , 0, 1, 0,  , 0, ... |
|
 |
3 | 1,  , 0, 1,  , 0, 1,  , 0, 1,  , 0, 1,  , 0, 1,  , 0, 1,  , ... |
|
 |
8 | 1, 0, 1, 0,  , 0,  , 0, 1, 0, 1, 0,  , 0,  , 0, 1, 0, 1, 0, ... |
|
 |
A034947 | 1, 1,  , 1, 1,  ,  , 1, 1, 1,  ,  , 1,  ,  , 1, 1, ... |
|
| 0 | 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... | ||
| 1 | 1 | 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... | |
| 2 | A091337 | 8 | 1, 0,  , 0,  , 0, 1, 0, 1, 0,  , 0,  , 0, 1, ... |
| 3 | A091338 | 1,  , 0, 1,  , 0,  ,  , 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, ... |
|
| 4 | A000035 | 2 | 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... |
| 5 | A080891 | 5 | 1,  ,  , 1, 0, 1,  ,  , 1, 0, 1,  ,  , 1, 0, ... |
| 6 | 24 | 1, 0, 0, 0, 1, 0,  , 0, 0, 0,  , 0,  , 0, 0, 0,  , 0, 1, 0, ... |
For values of 
corresponding to primitive Dirichlet 
-series 
, the period of 
equals 
. For 
, 
, ..., the periods of 
are 0, 8, 3, 4, 0, 24, 7, 8, 0, 40, 11, 6, ... (OEIS A117888) and for 
, 2, ... they are 1, 8, 0, 2, 5, 24, 0, 8, 3, 40, 0, 12, ... (OEIS A117889). Here, 0 indicates that the sequence is not periodic.
REFERENCES:
Ayoub, R. G. An Introduction to the Analytic Theory of Numbers. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1963.
Cohn, H. Advanced Number Theory. New York: Dover, p. 35, 1980.
Dickson, L. E. "Kronecker's Symbol." §48 in Introduction to the Theory of Numbers. New York: Dover, p. 77, 1957.
Sloane, N. J. A. Sequences A000035/M0001, A034947, A080891, A091337, A091338, A109017, A117888, and A117889 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Weiss, E. Algebraic Number Theory. New York: Dover, 1998.
الاكثر قراءة في نظرية الاعداد
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
الآخبار الصحية
قسم الشؤون الفكرية يصدر كتاباً يوثق تاريخ السدانة في العتبة العباسية المقدسة
"المهمة".. إصدار قصصي يوثّق القصص الفائزة في مسابقة فتوى الدفاع المقدسة للقصة القصيرة
(نوافذ).. إصدار أدبي يوثق القصص الفائزة في مسابقة الإمام العسكري (عليه السلام)
