The Kronecker symbol is an extension of the Jacobi symbol  to all integers. It is variously written as  or  (Cohn 1980; Weiss 1998, p. 236) or  (Dickson 2005). The Kronecker symbol can be computed using the normal rules for the Jacobi symbol

			(1)
			(2)
			(3)

plus additional rules for ,

{-1 for n<0; 1 for n>0, " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/KroneckerSymbol/NumberedEquation1.gif" style="height:41px; width:154px" />

(4)

and . The definition for  is variously written as

{0 for n even; 1 for n odd, n=+/-1 (mod 8); -1 for n odd, n=+/-3 (mod 8) " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/KroneckerSymbol/NumberedEquation2.gif" style="height:62px; width:233px" />

(5)

or

{0 for 4|n; 1 for n=1 (mod 8); -1 for n=5 (mod 8); undefined otherwise " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/KroneckerSymbol/NumberedEquation3.gif" style="height:86px; width:223px" />

(6)

(Cohn 1980). Cohn's form "undefines"  for singly even numbers  and , probably because no other values are needed in applications of the symbol involving the binary quadratic form discriminants  of quadratic fields, where  and  always satisfies .

The Kronecker symbol is implemented in the Wolfram Language as KroneckerSymbol[n, m].

The Kronecker symbol  is a real number theoretic character modulo , and is, in fact, essentially the only type of real primitive character (Ayoub 1963).

The illustration above and table below summarize  for , 2, ... and small .

	OEIS	period
	A109017	24	1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, , 0, 0, 0, , 0, , 0, ...
		0	1, , 1, 1, 0, , 1, , 1, 0, , 1, , , 0, 1, , , , 0, ...
		4	1, 0, , 0, 1, 0, , 0, 1, 0, , 0, 1, 0, , 0, 1, 0, , 0, ...
		3	1, , 0, 1, , 0, 1, , 0, 1, , 0, 1, , 0, 1, , 0, 1, , ...
		8	1, 0, 1, 0, , 0, , 0, 1, 0, 1, 0, , 0, , 0, 1, 0, 1, 0, ...
	A034947		1, 1, , 1, 1, , , 1, 1, 1, , , 1, , , 1, 1, ...
0			1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
1		1	1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
2	A091337	8	1, 0, , 0, , 0, 1, 0, 1, 0, , 0, , 0, 1, ...
3	A091338		1, , 0, 1, , 0, , , 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, ...
4	A000035	2	1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...
5	A080891	5	1, , , 1, 0, 1, , , 1, 0, 1, , , 1, 0, ...
6		24	1, 0, 0, 0, 1, 0, , 0, 0, 0, , 0, , 0, 0, 0, , 0, 1, 0, ...

For values of  corresponding to primitive Dirichlet -series , the period of  equals . For , , ..., the periods of  are 0, 8, 3, 4, 0, 24, 7, 8, 0, 40, 11, 6, ... (OEIS A117888) and for , 2, ... they are 1, 8, 0, 2, 5, 24, 0, 8, 3, 40, 0, 12, ... (OEIS A117889). Here, 0 indicates that the sequence is not periodic.

REFERENCES:

Ayoub, R. G. An Introduction to the Analytic Theory of Numbers. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1963.

Cohn, H. Advanced Number Theory. New York: Dover, p. 35, 1980.

Dickson, L. E. "Kronecker's Symbol." §48 in Introduction to the Theory of Numbers. New York: Dover, p. 77, 1957.

Sloane, N. J. A. Sequences A000035/M0001, A034947, A080891, A091337, A091338, A109017, A117888, and A117889 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Weiss, E. Algebraic Number Theory. New York: Dover, 1998.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

في مستشفى الكفيل.. تقنية "إليزاروف" تنقذ شابًّا من معاناة طويلة

رئيس هيأة التربية والتعليم يطّلع على سير العملية التعليمية في جامعة العميد

المشاركون في الملتقى التربوي يطلعون على عدد من مشاريع العتبة العباسية المقدسة

ضمن فعاليات الملتقى التربوي.. قسم العلاقات ينظم ورشة تعريفية عن دور المنسق التربوي

المزيد

الآخبار الصحية

أول إرشادات غذائية قائمة على الأدلة لمعالجة الإمساك المزمن

صباح بلا إفطار؟.. صحتك في خطر!

هل يمكن للجلد أن يكشف عن صحتك العقلية؟.. دراسة حديثة تجيب

السر في مطبخك.. 6 أطعمة تمنح عظامك قوة الشباب

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ناسا تكشف: كوكب الأرض أصبح أقل لمعانا خلال العقود الماضية

دراسة: الوقت الذي تستخدم فيه هاتفك قد يفضح حالتك النفسية

الهنغاري لاسلو كراسناهوركاي يفوز بجائزة نوبل للآداب 2025

رسميا.. إعلان الفائز بجائزة نوبل للسلام لعام 2025

المزيد