The Jacobi symbol, written  or  is defined for positive odd  as

(1)

where

(2)

is the prime factorization of  and  is the Legendre symbol. (The Legendre symbol is equal to  depending on whether  is a quadratic residue modulo .) Therefore, when  is a prime, the Jacobi symbol reduces to the Legendre symbol. Analogously to the Legendre symbol, the Jacobi symbol is commonly generalized to have value

(3)

giving

(4)

as a special case. Note that the Jacobi symbol is not defined for  or  even. The Jacobi symbol is implemented in the Wolfram Language as JacobiSymbol[n, m].

Use of the Jacobi symbol provides the generalization of the quadratic reciprocity theorem

(5)

for  and  relatively prime odd integers with  (Nagell 1951, pp. 147-148). Written another way,

(6)

or

{(m/n) for m or n=1 (mod 4); -(m/n) for m,n=3 (mod 4). " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/JacobiSymbol/NumberedEquation7.gif" style="height:74px; width:227px" />

(7)

The Jacobi symbol satisfies the same rules as the Legendre symbol

(8)

(9)

(10)

(11)

{1 for m=1 (mod 4); -1 for m=-1 (mod 4) " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/JacobiSymbol/NumberedEquation12.gif" style="height:41px; width:278px" />

(12)

{1 for m=+/-1 (mod 8); -1 for m=+/-3 (mod 8) " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/JacobiSymbol/NumberedEquation13.gif" style="height:41px; width:279px" />

(13)

Bach and Shallit (1996) show how to compute the Jacobi symbol in terms of the simple continued fraction of a rational number .

REFERENCES:

Bach, E. and Shallit, J. Algorithmic Number Theory, Vol. 1: Efficient Algorithms. Cambridge, MA: MIT Press, pp. 343-344, 1996.

Bressoud, D. M. and Wagon, S. A Course in Computational Number Theory. London: Springer-Verlag, p. 189, 2000.

Guy, R. K. "Quadratic Residues. Schur's Conjecture." §F5 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 244-245, 1994.

Nagell, T. "Jacobi's Symbol and the Generalization of the Reciprocity Law." §42 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 145-149, 1951.

Riesel, H. "Jacobi's Symbol." Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 281-284, 1994.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشعائر يواصل تحضيراته لتنظيم عمل المواكب الحسينية في زيارة الأربعين

قسم شؤون المعارف يناقش تحضيرات المؤتمر العلمي الأول لمركز تراث البصرة

قسم الشؤون الفكرية يقيم دورة تطويرية لملاكات هيأة المساءلة والعدالة في الأرشفة الإلكترونية

المجمع العلمي ينظم مجلس عزاء في قضاء الهندية

المزيد

الآخبار الصحية

نصائح عملية للحد من التعرق المفرط في الصيف

أطباء يحذرون: مكمل غذائي شائع قد يدمر الجهاز العصبي

تحذير طبي من تأثير جانبي "غير متوقع" لحقن التخسيس

حمامات الثلج قد تكون خطيرة وأحيانا مميتة.. ما السبب؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

أكبر جدارية شمسية في العالم تدخل موسوعة غينيس.. مشروع ضخم

تسارع دوران الأرض يثير القلق.. وتحذيرات من "كوارث محتملة" ؟

"سوذبيز" تطرح أكبر قطعة من المريخ على الأرض في مزاد علني

أوبن أيه آي تعتزم إطلاق متصفح إنترنت يعمل بالذكاء الاصطناعي

المزيد