المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
{افان مات او قتل انقلبتم على اعقابكم}
2024-11-24
العبرة من السابقين
2024-11-24
تدارك الذنوب
2024-11-24
الإصرار على الذنب
2024-11-24
معنى قوله تعالى زين للناس حب الشهوات من النساء
2024-11-24
مسألتان في طلب المغفرة من الله
2024-11-24


Steffi Problem  
  
1028   09:45 صباحاً   date: 30-6-2020
Author : Sloane, N. J. A
Book or Source : Sequences A080202 and A080203 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Page and Part : ...


Read More
Date: 18-5-2020 553
Date: 26-8-2020 2101
Date: 23-8-2020 1129

Steffi Problem

A homework problem proposed in Steffi's math class in January 2003 asked students to prove that no ratio of two unequal numbers obtained by permuting all the digits 1, 2, ..., 7 results in an integer. If such a ratio r existed, then some permutation of 1234567 would have to be divisible by rr can immediately be restricted to 2<=r<=6, since a ratio of two permutations of the first seven digits must be less than 7654321/1234567=6.2..., and the permutations were stated to be unequal, so r!=1. The case r=3 can be eliminated by the divisibility test for 3, which says that a number is divisible by 3 iff the sum of its digits is divisible by 3. Since the sum of the digits 1 to 7 is 28, which is not divisible by 3, there is no permutation of these digits that is divisible by 3. This also eliminates r=6 as a possibility, since a number must be divisible by 3 to be divisible by 6.

This leaves only the cases r=2, 4, and 5 to consider. The r=5 case can be eliminated by noting that in order to be divisible by 5, the last digits of the numerator and denominator must be 5 and 1, respectively

 (......5)/(......1).

(1)

The largest possible ratio that can be obtained will then use the largest possible number in the numerator and the smallest possible in the denominator, namely

 (7643215)/(2345671)

(2)

But 764321/2345671=3.25843<5, so it is not possible to construct a fraction that is divisible by 5. Therefore, only r=2 and 4 need now be considered.

In general, consider the numbers of pairs of unequal permutations of all the digits 12...k_b in base b (k<b) whose ratio is an integer. Then there is a unique (b=4,k=3) solution

 (312_4)/(123_4)=2,

(3)

a unique (5,4) solution

 (4312_5)/(1234_5)=3,

(4)

three (6,4) solutions

(3124_6)/(1342_6) = 2

(5)

(4213_6)/(1243_6) = 3

(6)

(4312_6)/(2134_6) = 2,

(7)

and so on.

The number of solutions for the first few bases and numbers of digits k are summarized in the table below (OEIS A080202).

b solutions for digits 12_b123_b, ..., 12...(b-1)_b
3 0
4 0, 1
5 0, 0, 1
6 0, 0, 3, 25
7 0, 0, 0, 2, 7
8 0, 0, 0, 0, 68, 623
9 0, 0, 0, 0, 0, 124, 1183
10 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2338, 24603
11 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 598, 5895
12 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 161947, 2017603

As can be seen from the table, in base 10, the only solutions are for the digits 12345678 and 123456789. Of the solutions for 12345678_(10), there are two that produce three different integers for the same numerator:

(85427136)/(42713568) = 2,(85427136)/(21356784)=4,(85427136)/(14237856)=6

(8)

(86314572)/(43157286) = 2,(86314572)/(21578643)=4,(86314572)/(14385762)=6.

(9)

Taking the diagonal entries (b,b-1) from this list for b=3, 4, ... gives the sequence 0, 1, 1, 25, 7, 623, 1183, 24603, ... (OEIS A080203).


REFERENCES:

Sloane, N. J. A. Sequences A080202 and A080203 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.