المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
Rise-fall Λyes Λno
2024-11-05
Fall-rise vyes vno
2024-11-05
Rise/yes/no
2024-11-05
ماشية اللحم كالميك في القوقاز Kalmyk breed
2024-11-05
Fallyes o
2024-11-05
تركيب وبناء جسم الحيوان (الماشية)
2024-11-05


Minkowski,s Question Mark Function  
  
1444   05:34 مساءً   date: 8-5-2020
Author : Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H
Book or Source : Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters
Page and Part : ...


Read More
Date: 4-5-2020 674
Date: 18-7-2020 902
Date: 1-12-2019 699

Minkowski's Question Mark Function

MinkowskiQuestionMark

The function y=?(x) defined by Minkowski for the purpose of mapping the quadratic surds in the open interval (0,1) into the rational numbers of (0,1) in a continuous, order-preserving manner. ?(x) takes a number having continued fraction x=[0;a_1,a_2,a_3,...] to the number

 ?(x)=sum_(k)((-1)^(k-1))/(2^((a_1+...+a_k)-1)).

(1)

The function satisfies the following properties (Salem 1943).

1. ?(x) is strictly increasing.

2. If x is rational, then ?(x) is of the form k/2^s, with k and s integers.

3. If x is a quadratic surd, then the continued fraction is periodic, and hence ?(x) is rational.

4. The function is purely singular (Denjoy 1938).

?(x) can also be constructed as

(2)

where p/q and  are two consecutive irreducible fractions from the Farey sequence. At the nth stage of this definition, ?(x) is defined for 2^n+1 values of x, and the ordinates corresponding to these values are x=k/2^n for k=0, 1, ..., 2^n (Salem 1943).

The function satisfies the identity

 ?(1/(k^n))=1/(2^(k^n-1)).

(3)

A few special values include

?(0) = 0

(4)

?(1/3) = 1/4

(5)

?(1/2) = 1/2

(6)

?(phi-1) = 2/3

(7)

?(2/3) = 3/4

(8)

?(1/2sqrt(2)) = 4/5

(9)

?(1/2sqrt(3)) = (84)/(85)

(10)

?(1) = 1,

(11)

where phi is the golden ratio.


REFERENCES:

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 237-238, 2007.

Conway, J. H. "Contorted Fractions." On Numbers and Games, 2nd ed. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 82-86 (1st ed.), 2000.

Denjoy, A. "Sur une fonction réelle de Minkowski." J. Math. Pures Appl. 17, 105-155, 1938.

Girgensohn, R. "Constructing Singular Functions via Farey Fractions." J. Math. Anal. Appl. 203, 127-141, 1996.

Kinney, J. R. "Note on a Singular Function of Minkowski." Proc. Amer. Math. Soc. 11, 788-794, 1960.

Minkowski, H. "Zur Geometrie der Zahlen." In Gesammelte Abhandlungen, Vol. 2. New York: Chelsea, pp. 44-52, 1991.

Salem, R. "On Some Singular Monotone Functions which Are Strictly Increasing." Trans. Amer. Math. Soc. 53, 427-439, 1943.

Tichy, R. and Uitz, J. "An Extension of Minkowski's Singular Functions." Appl. Math. Lett. 8, 39-46, 1995.

Viader, P.; Paradis, J.; and Bibiloni, L. "A New Light on Minkowski's ?(x) Function." J. Number Th. 73, 212-227, 1998.

Yakubovich, S. "The Affirmative Solution to Salem's Problem Revisited." 31 Dec 2014. https://arxiv.org/abs/1501.00141.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.