المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
النقل البحري
2024-11-06
النظام الإقليمي العربي
2024-11-06
تربية الماشية في جمهورية كوريا الشعبية الديمقراطية
2024-11-06
تقييم الموارد المائية في الوطن العربي
2024-11-06
تقسيم الامطار في الوطن العربي
2024-11-06
تربية الماشية في الهند
2024-11-06


Circle-Circle Intersection  
  
944   03:50 مساءً   date: 6-4-2020
Author : Sloane, N. J. A
Book or Source : Sequence A133741 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Page and Part : ...


Read More
Date: 27-9-2020 1701
Date: 20-11-2019 552
Date: 4-11-2020 1016

Circle-Circle Intersection

CircleIntersections

Two circles may intersect in two imaginary points, a single degenerate point, or two distinct points.

The intersections of two circles determine a line known as the radical line. If three circles mutually intersect in a single point, their point of intersection is the intersection of their pairwise radical lines, known as the radical center.

CircleCircleIntersection

Let two circles of radii R and r and centered at (0,0) and (d,0) intersect in a region shaped like an asymmetric lens. The equations of the two circles are

x^2+y^2 = R^2

(1)

(x-d)^2+y^2 = r^2.

(2)

Combining (1) and (2) gives

 (x-d)^2+(R^2-x^2)=r^2.

(3)

Multiplying through and rearranging gives

 x^2-2dx+d^2-x^2=r^2-R^2.

(4)

Solving for x results in

 x=(d^2-r^2+R^2)/(2d).

(5)

The chord connecting the cusps of the lens therefore has half-length y given by plugging x back in to obtain

y^2 = R^2-x^2=R^2-((d^2-r^2+R^2)/(2d))^2

(6)

= (4d^2R^2-(d^2-r^2+R^2)^2)/(4d^2).

(7)

Solving for y and plugging back in to give the entire chord length a=2y then gives

a = 1/dsqrt(4d^2R^2-(d^2-r^2+R^2)^2)

(8)

= 1/dsqrt((-d+r-R)(-d-r+R)(-d+r+R)(d+r+R)).

(9)

This same formulation applies directly to the sphere-sphere intersection problem.

To find the area of the asymmetric "lens" in which the circles intersect, simply use the formula for the circular segment of radius  and triangular height 

(10)

twice, one for each half of the "lens." Noting that the heights of the two segment triangles are

d_1 = x=(d^2-r^2+R^2)/(2d)

(11)

d_2 = d-x=(d^2+r^2-R^2)/(2d).

(12)

The result is

A = A(R,d_1)+A(r,d_2)

(13)

= r^2cos^(-1)((d^2+r^2-R^2)/(2dr))+R^2cos^(-1)((d^2+R^2-r^2)/(2dR))-1/2sqrt((-d+r+R)(d+r-R)(d-r+R)(d+r+R)).

(14)

The limiting cases of this expression can be checked to give 0 when d=R+r and

A = 2R^2cos^(-1)(d/(2R))-1/2dsqrt(4R^2-d^2)

(15)

= 2A(1/2d,R)

(16)

when r=R, as expected.

Circle-CircleIntersectionHalf

In order for half the area of two unit disks (R=1) to overlap, set A=piR^2/2=pi/2 in the above equation

 1/2pi=2cos^(-1)(1/2d)-1/2dsqrt(4-d^2)

(17)

and solve numerically, yielding d=0.8079455... (OEIS A133741).

Circle3Intersection

If three symmetrically placed equal circles intersect in a single point, as illustrated above, the total area of the three lens-shaped regions formed by the pairwise intersection of circles is given by

 A=pi-3/2sqrt(3).

(18)

Circle4Intersection

Similarly, the total area of the four lens-shaped regions formed by the pairwise intersection of circles is given by

 A=2(pi-2).

(19)


REFERENCES:

Sloane, N. J. A. Sequence A133741 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.