المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
القيمة الغذائية للثوم Garlic
2024-11-20
العيوب الفسيولوجية التي تصيب الثوم
2024-11-20
التربة المناسبة لزراعة الثوم
2024-11-20
البنجر (الشوندر) Garden Beet (من الزراعة الى الحصاد)
2024-11-20
الصحافة العسكرية ووظائفها
2024-11-19
الصحافة العسكرية
2024-11-19


Gregory Series  
  
652   04:12 مساءً   date: 8-3-2020
Author : Borwein, J. and Bailey, D.
Book or Source : "A Curious Anomaly in the Gregory Series." §2.2 in Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters
Page and Part : ...


Read More
Date: 26-12-2019 990
Date: 28-12-2020 714
Date: 11-1-2021 787

Gregory Series

GregorySeries

The Gregory series is a pi formula found by Gregory and Leibniz and obtained by plugging x=1 into the Leibniz series,

 pi/4=sum_(k=1)^infty((-1)^(k+1))/(2k-1)=1-1/3+1/5-...

(1)

(Wells 1986, p. 50). The formula converges very slowly, but its convergence can be accelerated using certain transformations, in particular

 pi=sum_(k=1)^infty(3^k-1)/(4^k)zeta(k+1),

(2)

where zeta(z) is the Riemann zeta function (Vardi 1991).

Taking the partial series gives the analytic result

 4sum_(k=1)^N((-1)^(k+1))/(2k-1)=pi+(-1)^N[psi_0(1/4+1/2N)-psi_0(3/4+1/2N)].

(3)

Rather amazingly, expanding about infinity gives the series

 4sum_(k=1)^N((-1)^(k+1))/(2k-1)=pi-(-1)^Nsum_(k=0)^infty(E_(2k))/(4^kN^(2k+1))

(4)

(Borwein and Bailey 2003, p. 50), where E_n is an Euler number. This means that truncating the Gregory series at half a large power of 10 can give a decimal expansion for pi whose decimal digits are largely correct, but where wrong digits occur with precise regularity. For example, taking N=5×10^6 gives

GregorySeriesDigits

where the sequence of differences is precisely twice the Euler (secant) numbers. In fact, just this pattern of digits was observed by J. R. North in 1988 before the closed form of the truncated series was known (Borwein and Bailey 2003, p. 49; Borwein et al. 2004, p. 29).


REFERENCES:

Borwein, J. and Bailey, D. "A Curious Anomaly in the Gregory Series." §2.2 in Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 48-50, 2003.

Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. "Gregory's Series Reexamined." §1.8.1 in Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 28-30, 2004.

Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; and Dilcher, K. "Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions." Amer. Math. Monthly 96, 681-687, 1989.

Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 157-158, 1991.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 50, 1986.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.