Let  be the error of the best uniform approximation to a real function  on the interval  by real polynomials of degree at most . If

(1)

then Bernstein showed that

(2)

He conjectured that the lower limit () was . However, this was disproven by Varga and Carpenter (1987) and Varga (1990), who computed

(3)

For rational approximations  for  and  of degree  and , D. J. Newman (1964) proved

(4)

for . Gonchar (1967) and Bulanov (1975) improved the lower bound to

(5)

Vjacheslavo (1975) proved the existence of positive constants  and  such that

(6)

(Petrushev 1987, pp. 105-106). Varga et al. (1993) conjectured and Stahl (1993) proved that

(7)

REFERENCES:

Bernstein, S. N. "Sur la meilleure approximation de  par les polynomes de degrés donnés." Acta Math. 37, 1-57, 1913.

Bulanov, A. P. "Asymptotics for the Best Rational Approximation of the Function Sign ." Mat. Sbornik 96, 171-178, 1975. English translation in Math. USSR Sbornik 5, 275-290, 1968.

Finch, S. R. "Bernstein's Constant." §4.4 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 257-259, 2003.

Gonchar, A. A. "Estimates for the Growth of Rational Functions and their Applications." Mat. Sbornik 72, 489-503, 1967.

Newman, D. J. "Rational Approximation to ." Michigan Math. J. 11, 11-14, 1964.

Petrushev, P. P. and Popov, V. A. Rational Approximation of Real Functions. New York: Cambridge University Press, 1987.

Stahl, H. "Best Uniform Rational Approximation of  on ." Russian Acad. Sci. Sb. Math. 76, 461-487, 1993.

Stahl, H. Uniform Rational Approximation of . New York: Springer-Verlag, pp. 110-130, 1993.

Varga, R. S. Scientific Computations on Mathematical Problems and Conjectures. Philadelphia, PA: SIAM, 1990.

Varga, R. S. and Carpenter, A. J. "On a Conjecture of S. Bernstein in Approximation Theory." Math. USSR Sbornik 57, 547-560, 1987.

Varga, R. S.; Ruttan, A.; and Carpenter, A. J. "Numerical Results on Best Uniform Rational Approximations to  on . Mat. Sbornik 182, 1523-1541, 1991. English translation in Math. USSR Sbornik 74, 271-290, 1993.

Vjacheslavo, N. S. "On the Uniform Approximation of  by Rational Functions." Dokl. Akad. Nauk SSSR 220, 512-515, 1975. English translation in Soviet Math. Dokl. 16, 100-104, 1975.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الدينية يوزع أكثر من ألفي وجبة طعام للمعزين في ذكرى عاشوراء بنينوى

قسم الشؤون الطبية يواصل تقديم خدماته الصحية لزائري عاشوراء

جموع المعزين تحيي مراسم يوم العاشر من شهر المحرم عند المرقدين الطاهرين

قسم العلاقات يطلق محطات فتية الكفيل الثقافية في محافظة نينوى

المزيد

الآخبار الصحية

لهذا السبب.. إغلاق 25 مركزًا لعلاج الإدمان في مصر ؟

خلافا للاعتقاد الشائع.. علماء يكشفون أسرار بذور البطيخ ؟!

هذا ما يحدث لجسمك عند تناولك الطماطم بانتظام !

تعرف على أطعمة تسرّع "تعافي الجسم" من حروق الشمس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الثلوج تغطي الصحراء الأكثر جفافا في العالم!

بتلسكوب "ألما".. التقاط صورا غير مسبوقة لبدايات الكون !

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

المزيد