Let  be the error of the best uniform approximation to a real function  on the interval  by real polynomials of degree at most . If

(1)

then Bernstein showed that

(2)

He conjectured that the lower limit () was . However, this was disproven by Varga and Carpenter (1987) and Varga (1990), who computed

(3)

For rational approximations  for  and  of degree  and , D. J. Newman (1964) proved

(4)

for . Gonchar (1967) and Bulanov (1975) improved the lower bound to

(5)

Vjacheslavo (1975) proved the existence of positive constants  and  such that

(6)

(Petrushev 1987, pp. 105-106). Varga et al. (1993) conjectured and Stahl (1993) proved that

(7)

REFERENCES:

Bernstein, S. N. "Sur la meilleure approximation de  par les polynomes de degrés donnés." Acta Math. 37, 1-57, 1913.

Bulanov, A. P. "Asymptotics for the Best Rational Approximation of the Function Sign ." Mat. Sbornik 96, 171-178, 1975. English translation in Math. USSR Sbornik 5, 275-290, 1968.

Finch, S. R. "Bernstein's Constant." §4.4 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 257-259, 2003.

Gonchar, A. A. "Estimates for the Growth of Rational Functions and their Applications." Mat. Sbornik 72, 489-503, 1967.

Newman, D. J. "Rational Approximation to ." Michigan Math. J. 11, 11-14, 1964.

Petrushev, P. P. and Popov, V. A. Rational Approximation of Real Functions. New York: Cambridge University Press, 1987.

Stahl, H. "Best Uniform Rational Approximation of  on ." Russian Acad. Sci. Sb. Math. 76, 461-487, 1993.

Stahl, H. Uniform Rational Approximation of . New York: Springer-Verlag, pp. 110-130, 1993.

Varga, R. S. Scientific Computations on Mathematical Problems and Conjectures. Philadelphia, PA: SIAM, 1990.

Varga, R. S. and Carpenter, A. J. "On a Conjecture of S. Bernstein in Approximation Theory." Math. USSR Sbornik 57, 547-560, 1987.

Varga, R. S.; Ruttan, A.; and Carpenter, A. J. "Numerical Results on Best Uniform Rational Approximations to  on . Mat. Sbornik 182, 1523-1541, 1991. English translation in Math. USSR Sbornik 74, 271-290, 1993.

Vjacheslavo, N. S. "On the Uniform Approximation of  by Rational Functions." Dokl. Akad. Nauk SSSR 220, 512-515, 1975. English translation in Soviet Math. Dokl. 16, 100-104, 1975.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

ما الخدمات التي قدّمها موكب أشبال الطفّ لزائري عاشوراء؟

العتبة العباسية المقدسة تنظّم مسيرات عزائية لإحياء ذكرى عاشوراء في نينوى

قسم الشؤون الفكرية يحيي ذكرى استشهاد الإمام الحسين (عليه السلام) في القارة الإفريقية

قسمُ التربية والتعليم يقيم مجلسه العزائي السنوي بذكرى عاشوراء

المزيد

الآخبار الصحية

تناول الجبن.. مفيد للجسم أم خطر يهدد صحتك؟

طبيبة أسنان تحذر.. لا تتجاهل هذه العلامة بعد التنظيف

يجب أن تأكل المزيد من الشمام هذا الصيف.. إليك السبب ؟

تأثير صحي كبير.. كم بيضة يجب أن تتناول يوميا؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

أداء خلايا البيروفسكايت الشمسية تحت الماء قد يزيد كفاءة تحويل الكهرباء

مسافة الأمان: أساس القيادة الآمنة وتجنب الحوادث

هل القيادة السريعة تعني استهلاك اكثر للوقود؟

لماذا يعتبر كوكب المريخ غير صالح للحياة؟

المزيد