المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
اية الميثاق والشهادة لعلي بالولاية
2024-11-06
اية الكرسي
2024-11-06
اية الدلالة على الربوبية
2024-11-06
ما هو تفسير : اهْدِنَا الصِّراطَ الْمُسْتَقِيمَ ؟
2024-11-06
انما ارسناك بشيرا ونذيرا
2024-11-06
العلاقات الاجتماعية الخاصة / علاقة الوالدين بأولادهم
2024-11-06

إحتياج الممكن الى العلة حدوثا وبقاء
1-07-2015
الرسالة الإعلامية الاقناعية- التنويع
20-8-2020
العودة إلى مكة للطواف والسعي ثانية
27-11-2016
اصل اسماء الفريميوم والاينشتانيوم والمندليفيوم
12-3-2018
أنزيم GOT
2024-04-16
situation (n.)
2023-11-16

Sphere Tetrahedron Picking  
  
1146   05:44 مساءً   date: 13-2-2020
Author : Buchta, C
Book or Source : "A Note on the Volume of a Random Polytope in a Tetrahedron." Ill. J. Math. 30
Page and Part : ...


Read More
Date: 21-1-2021 667
Date: 29-10-2019 1012
Date: 22-9-2020 760

Sphere Tetrahedron Picking

Sphere tetrahedron picking is the selection of quadruples of of points corresponding to vertices of a tetrahedron with vertices on the surface of a sphere. n random tetrahedra can be picked on a unit sphere in the Wolfram Language using the function RandomPoint[Sphere[], {n, 4}].

Pick four points on a sphere. What is the probability that the tetrahedron having these points as polyhedron vertices contains the center of the sphere? In the one-dimensional case, the probability that a second point is on the opposite side of 1/2 is 1/2. In the two-dimensional case, pick two points. In order for the third to form a triangle containing the center, it must lie in the quadrant bisected by a line segment passing through the center of the circle and the bisector of the two points. This happens for one quadrant, so the probability is 1/4. Similarly, for a sphere the probability is one octant, or 1/8.

Pick four points at random on the surface of a unit sphere using

x = sqrt(1-u^2)costheta

(1)

y = sqrt(1-u^2)sintheta

(2)

z = u

(3)

with u in [-1,1] and theta in [0,2pi). Now find the distribution of possible volumes of the (nonregular) tetrahedra determined by these points. Without loss of generality, the first point may be taken as u_1=1, or (0,0,1), while the second may be taken as (0,u_2), or (sqrt(1-u_2^2),0,u_2). The average volume is then

V^_ = (int_(-1)^1int_(-1)^1int_(-1)^1int_(-1)^1int_0^piint_0^(2pi)|V|du_2du_3du_4dtheta_3dtheta_4)/(int_(-1)^1int_(-1)^1int_(-1)^1int_(-1)^1int_0^piint_0^(2pi)du_2du_3du_4dtheta_3dtheta_4)

(4)

= 1/(16pi^2)int_(-1)^1int_(-1)^1int_(-1)^1int_(-1)^1int_0^piint_0^(2pi)|V|du_2du_3du_4dtheta_3dtheta_4,

(5)

where the vertices are located at (x_i,y_i,z_i) where i=1, ..., 4, and the (signed) volume is given by the determinant

 V=1/(3!)|x_1 y_1 z_1 1; x_2 y_2 z_2 1; x_3 y_3 z_3 1; x_4 y_4 z_4 1|.

(6)

The analytic result is difficult to compute, but the exact result for the mean tetrahedron volume is given by

 V^_=4/(105)pi

(7)

(Miles 1971, Heinrich et al. 1998, Finch 2011). The raw moments can be computed more easily for even n, giving

= 2/(81)

(8)

= 4/(2025)

(9)

= (208)/(893025)

(10)

= (4352)/(130203045).

(11)



REFERENCES:

Buchta, C. "A Note on the Volume of a Random Polytope in a Tetrahedron." Ill. J. Math. 30, 653-659, 1986.

Finch, S. "Random Triangles VI." http://algo.inria.fr/csolve/rtg6.pdf. Jan. 7, 2011.

Heinrich, L.; Körner, R.; Mehlhorn, N.; and Muche, L. "Numerical and Analytical Computation of Some Second-Order Characteristics of Spatial Poisson-Voronoi Tessellations." Statistics 31, 235-259, 1998.

Miles, R. E. "Isotropic Random Simplices." Adv. Appl. Prob. 3, 353-382, 1971.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.