المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
تخزين البطاطس
2024-11-28
العيوب الفسيولوجية التي تصيب البطاطس
2024-11-28
العوامل الجوية المناسبة لزراعة البطاطس
2024-11-28
السيادة القمية Apical Dominance في البطاطس
2024-11-28
مناخ المرتفعات Height Climate
2024-11-28
التربة المناسبة لزراعة البطاطس Solanum tuberosum
2024-11-28

تفسير الاية (41-56) من سورة الواقعة
5-10-2017
الوان والحالات الثلاث للماء
4-1-2016
أنواع الناقلات الأيونية
2024-01-20
الظروف البيئية المناسبة للرمان
24-12-2015
فضائل الإمام الرضا
15-10-2015
تعليب الفواكه والخضروات
11-5-2022

Underdamped Simple Harmonic Motion  
  
807   03:19 مساءً   date: 5-7-2018
Author : Papoulis, A
Book or Source : Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill
Page and Part : ...


Read More
Date: 12-6-2018 605
Date: 24-5-2018 882
Date: 5-7-2018 1311

Underdamped Simple Harmonic Motion

SHOUnderdamped

Underdamped simple harmonic motion is a special case of damped simple harmonic motion

 x^..+betax^.+omega_0^2x=0

(1)

in which

 beta^2-4omega_0^2<0.

(2)

Since we have

 D=beta^2-4omega_0^2<0,

(3)

it follows that the quantity

gamma = 1/2sqrt(-D)

(4)

= 1/2sqrt(4omega_0^2-beta^2)

(5)

is positive. Plugging in the trial solution x=e^(rt) to the differential equation then gives solutions that satisfy

 r_+/-=-1/2beta+/-igamma,

(6)

i.e., the solutions are of the form

 x=e^(-(beta/2+/-igamma)t).

(7)

Using the Euler formula

 e^(ix)=cosx+isinx,

(8)

this can be rewritten

 x=e^(-(beta/2)t)[cos(gammat)+/-isin(gammat)].

(9)

We are interested in the real solutions. Since we are dealing here with a linear homogeneous ODE, linear sums of linearly independent solutions are also solutions. Since we have a sum of such solutions in (9), it follows that the imaginary and real parts separately satisfy the ODE and are therefore the solutions we seek. The constant in front of the sine term is arbitrary, so we can identify the solutions as

x_1 = e^(-(beta/2)t)cos(gammat)

(10)

x_2 = e^(-(beta/2)t)sin(gammat),

(11)

so the general solution is

 x=e^(-(beta/2)t)[Acos(gammat)+Bsin(gammat)].

(12)

The initial values are

x(0) = A

(13)

x^.(0) = -1/2betaA+B,gamma

(14)

so A and B can be expressed in terms of the initial conditions by

A = x(0)

(15)

B = (betax(0))/(2gamma)+(x^.(0))/gamma.

(16)

The above plot shows an underdamped simple harmonic oscillator with omega=0.3beta=0.4 for a variety of initial conditions (A,B).

For a cosinusoidally forced underdamped oscillator with forcing function g(t)=Ccos(omegat), so

 x^..+betax^.+omega_0^2x=Ccos(omegat),

(17)

define

gamma = 1/2sqrt(4omega_0^2-beta^2)

(18)

alpha = 1/2beta

(19)

for convenience, and then note that

4omega_0^2-beta^2 = 4gamma^2

(20)

omega_0^2 = gamma^2+1/4beta^2

(21)

= gamma^2+alpha^2

(22)

beta = 2alpha.

(23)

We can now use variation of parameters to obtain the particular solution as

 x^*=x_1v_1+x_2v_2,

(24)

where

v_1 = -int(x_1(t)g(t))/(W(t))

(25)

v_2 = int(x_2(t)g(t))/(W(t))

(26)

and the Wronskian is

W(t) = x_1x^._2-x^._1x_2

(27)

= gammae^(-2alphat).

(28)

These can be integrated directly to give

v_1 = -C/gammainte^(alphat)sin(gammat)cos(omegat)dt

(29)

v_2 = C/gammainte^(alphat)cos(gammat)cos(omegat)dt.

(30)

Therefore,

x^*(t) = C((alpha^2+gamma^2-omega^2)cos(omegat)+2alphaomegasin(omegat))/([alpha^2+(gamma-omega)^2][alpha^2+(gamma+omega)^2])

(31)

= C/(sqrt((omega_0^2-omega^2)^2+omega^2beta^2))cos(omegat+delta),

(32)

where use has been made of the harmonic addition theorem and

 delta=tan^(-1)((betaomega)/(omega^2-omega_0^2)).

(33)

 


REFERENCES:

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 525-527, 1984.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.