المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية


Simple Harmonic Motion--Quadratic Perturbation  
  
1177   02:46 مساءً   date: 5-7-2018
Author : المرجع الالكتروني للمعلوماتيه
Book or Source : المرجع الالكتروني للمعلوماتيه
Page and Part : ...

Simple Harmonic Motion--Quadratic Perturbation

Given a simple harmonic oscillator with a quadratic perturbation, write the perturbation term in the form alphaepsilonx^2,

 

 x^..+omega_0^2x-alphaepsilonx^2=0,

(1)

find the first-order solution using a perturbation method. Write

 x=x_0+epsilonx_1+...,

(2)

and plug back into (1) and group powers to obtain

 (x^.._0+omega_0^2x_0)+(x^.._1+omega_0^2x_1-alphax_0^2)epsilon+2alphax_0epsilon^2+....

(3)

To solve this equation, keep terms only to order epsilon^2 and note that, because this equation must hold for all powers of epsilon, we can separate it into the two simultaneous differential equations

x^.._0+omega_0^2x_0 = 0

(4)

x^.._1+omega_0^2x_1 = alphax_0^2.

(5)

Setting our clock so that x_0(0)=0, the solution to (4) is then

 x_0=Acos(omega_0t).

(6)

Plugging this solution back into (5) then gives

 x^.._1+omega_0^2x_1=alphaA^2cos^2(omega_0t).

(7)

The equation can be solved to give

 x_1=(alphaA^2)/(6omega_0^2)[3-cos(2omega_0t)]+C_1cos(omega_0t)+C_2sin(omega_0t),

(8)

Combining x_0 and x_1 then gives

x(t) = x_0+epsilonx_1

(9)

= Acos(omega_0t)-(alphaA^2)/(6omega_0^2)epsilon[cos(2omega_0t)-3],

(10)

where the sinusoidal and cosinusoidal terms of order epsilon (from the x_1) have been ignored in comparison with the larger terms from x_0.

SHOPerturbed

As can be seen in the top figure above, this solution approximates x(t) only for epsilon<<1. As the lower figure shows, the differences from the unperturbed oscillator grow stronger over time for even relatively small values of epsilon.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.