1

المرجع الالكتروني للمعلوماتية

تاريخ الفيزياء

علماء الفيزياء

الفيزياء الكلاسيكية

الميكانيك

الديناميكا الحرارية

الكهربائية والمغناطيسية

الكهربائية

المغناطيسية

الكهرومغناطيسية

علم البصريات

تاريخ علم البصريات

الضوء

مواضيع عامة في علم البصريات

الصوت

الفيزياء الحديثة

النظرية النسبية

النظرية النسبية الخاصة

النظرية النسبية العامة

مواضيع عامة في النظرية النسبية

ميكانيكا الكم

الفيزياء الذرية

الفيزياء الجزيئية

الفيزياء النووية

مواضيع عامة في الفيزياء النووية

النشاط الاشعاعي

فيزياء الحالة الصلبة

الموصلات

أشباه الموصلات

العوازل

مواضيع عامة في الفيزياء الصلبة

فيزياء الجوامد

الليزر

أنواع الليزر

بعض تطبيقات الليزر

مواضيع عامة في الليزر

علم الفلك

تاريخ وعلماء علم الفلك

الثقوب السوداء

المجموعة الشمسية

الشمس

كوكب عطارد

كوكب الزهرة

كوكب الأرض

كوكب المريخ

كوكب المشتري

كوكب زحل

كوكب أورانوس

كوكب نبتون

كوكب بلوتو

القمر

كواكب ومواضيع اخرى

مواضيع عامة في علم الفلك

النجوم

البلازما

الألكترونيات

خواص المادة

الطاقة البديلة

الطاقة الشمسية

مواضيع عامة في الطاقة البديلة

المد والجزر

فيزياء الجسيمات

الفيزياء والعلوم الأخرى

الفيزياء الكيميائية

الفيزياء الرياضية

الفيزياء الحيوية

الفيزياء العامة

مواضيع عامة في الفيزياء

تجارب فيزيائية

مصطلحات وتعاريف فيزيائية

وحدات القياس الفيزيائية

طرائف الفيزياء

مواضيع اخرى

علم الفيزياء : الفيزياء الحديثة : فيزياء الحالة الصلبة : مواضيع عامة في الفيزياء الصلبة :

Mathematical Derivation

المؤلف:  Donald A. Neamen

المصدر:  Semiconductor Physics and Devices

الجزء والصفحة:  p 83

14-5-2017

1157

Mathematical Derivation

To determine the density of allowed quantum states as a function of energy, we need to consider an appropriate mathematical model. Electrons are allowed to move relatively freely in the conduction band of a semiconductor, but are confined to the crystal. As a first step, we will consider a free electron confined to a three-dimensional infinite potential well, where the potential well represents the crystal. The potential of the infinite potential well is defined as

(1)

where the crystal is assumed to be a cube with length a. Schrodinger's wave equation in three dimensions can be solved using the separation of variables technique. Extrapolating the results from the one-dimensional infinite potential well, we can show that

(2)

where nx, ny, and nz are positive integers. (Negative values of nx, ny,  and nz yield the same wave function, except for the sign, as the positive integer values, resulting in the same probability function and energy, so the negative integers do not represent a different quantum state.)

We can schematically plot the allowed quantum states in k space. Figure 1.1a shows a two-dimensional plot as a function of kx and ky. Each point represents an allowed quantum state corresponding to various integral values of nx and ny. Positive and negative values of kx, ky, or kz have the same energy and represent the same

Figure 1.1 (a) A two-dimensional army of allowed quantum stales in k space. (b) The positive one-eighth of the spherical k space.

energy state. Since negative values of kx, ky, or kz do not represent additional quantum states, the density of quantum states will be determined by considering only the positive one-eighth of the spherical k space as shown in Figure 1.1b.

The distance between two quantum states in the kx direction, for example, is given by

(3)

Generalizing this result to three dimensions, the volume Vk of a single quantum state is

(4)

We can now determine the density of quantum states in k space. A differential volume in k space is shown in Figure 1.1b and is given by 4πk2 dk, so the differential density of quantum states in k space can he written as

(5)

The first factor, 2, takes into account the two spin states allowed for each quantum stale; the next factor, 1/8, takes into account that we are considering only the quantum states for positive values of kx, ky, and kz. The factor 4πk2 dk, is again the differential volume and the factor (π/a)3 is the volume of one quantum state. Equation (5) may be simplified to

(6)

Equation (6) gives the density of quantum states as a function of momentum, through the parameter k. We can now determine the density of quantum states as a function of energy E. For a free electron, the parameters E and k are related by

(7a)

or

(7b)

The differential dk is

(8)

Then, substituting the expressions for k2 and dk into Equation (6). the number of energy states between E and E + dE is given by

(9)

Since h = h/2π, Equation (9) becomes

(10)

Equation (10) gives the total number of quantum states between the energy E and E + dE in the crystal space volume of a3. If we divide by the volume a3, then we will obtain the density of quantum states per unit volume of the crystal. Equation (10) then becomes

(11)

The density of quantum states is a function of energy E. As the energy of this free electron becomes small, the number of available quantum states decreases. This density function is really a double density, in that the units are given in terms of states per unit energy per unit volume.

EN

تصفح الموقع بالشكل العمودي