x
هدف البحث
بحث في العناوين
بحث في المحتوى
بحث في اسماء الكتب
بحث في اسماء المؤلفين
اختر القسم
موافق
تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Ruth-Aaron Pair
المؤلف: Hoffman, P
المصدر: The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998.
الجزء والصفحة: ...
29-11-2020
653
A Ruth-Aaron pair is a pair of consecutive numbers such that the sums of the prime factors of and are equal. They are so named because they were inspired by the pair (714, 715) corresponding to Hank Aaron's record-breaking 715th home run on April 8, 1974, breaking Babe Ruth's earlier record of 714 (Pomerance 2002; Hoffman 1998, pp. 179-181). These have the factorizations
(1) |
|||
(2) |
and .
If multiplicities are not counted (so that a factor of counts only a single 2), then the first few s giving Ruth-Aaron pairs are 5, 24, 49, 77, 104, 153, 369, 492, 714, 1682, ... (OEIS A006145), corresponding to the sums 5, 5, 7, 18, 15, 20, 44, 46, 29, ... (OEIS A006146).
If multiplicities are counted (so that a factor of counts as , then the first few s giving Ruth-Aaron pairs are 5, 8, 15, 77, 125, 714, 948, ... (OEIS A039752), corresponding to the sums 5, 6, 8, 18, 15, 29, 86, ... (OEIS A054378). The numbers of such less than , 2, ... are 2, 4, 7, 20, 57, 149, 523, ... (OEIS A101805).
Nelson et al. (1974) showed that a conjecture of Schinzel on simultaneous prime values of polynomials known as "Schinzel's Hypothesis H" would imply the existence of infinitely many Ruth-Aaron pairs. This conjecture remains open (Pomerance 2002), despite an erroneous claimed proof by Erdős claimed by Hoffman (1998, pp. 180-181).
Nelson et al. (1974) also conjectured that Ruth-Aaron pairs were sparse (i.e., have density 0), a conjecture subsequently proved by Erdős and Pomerance (1978), who showed that if a Ruth-Aaron number is defined as a number such that where is the sum of prime factors of taken with multiplicity, then the number of Ruth-Aaron numbers up to is
(3) |
which can be improved to . Pomerance (2002) subsequently improved this bound to
(4) |
thus establishing the fact that the sum of the reciprocals of the Ruth-Aaron numbers is bounded. In fact,
(5) |
REFERENCES:
Babai, L.; Pomerance, C. and Vértesi, P. "The Mathematics of Paul Erdős." Notices Amer. Math. Soc. 45, 19-23, 1998.
Drost, J. L. "Ruth/Aaron Pairs." J. Recr. Math. 28, No. 2, pp. 120-122.
Erdős, P. and Pomerance, C. "On the Largest Prime Factors of and ." Aeq. Math. 17, 311-321, 1978.
Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998.
Mackenzie, D. "Mathematics: Homage to an Itinerant Master." Science 275, 759, 1997.
Nelson, C.; Penney, D. E.; and Pomerance, C. "714 and 715." J. Recr. Math. 7, 87-89, 1974.
Peterson, I. "Ivars Peterson's MathLand: Playing with Ruth-Aaron Pairs." https://www.maa.org/mathland/mathland_6_30.html.
Peterson, I. "MathTrek: Playing with Ruth-Aaron Pairs." Sci. News 168, Aug. 6, 2005. https://www.sciencenews.org/articles/20050806/mathtrek.asp.
Pomerance, C. "Ruth-Aaron Numbers Revisited." In Paul Erdős and his Mathematics. I. Papers from the Conference Held in Budapest, July 4-11, 1999 (Ed. G. Halász, L. Lovász, M. Simonovits, and V. T. Sós). Berlin: Springer-Verlag, pp. 567-579, 2002. https://cm.bell-labs.com/cm/ms/who/carlp/PS/aaron6.ps.
Sloane, N. J. A. Sequences A006145, A006146, A039752, A054378, and A101805 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."