Let M₁, M₂, . . . , M_n be modules over a unital commutative ring R, and let P be an R-module. A function f: M₁ × M₂ × · · · × M_n → P is said to be R-multilinear if

              f(x₁, . . . , x_k−1, x`k + x``_k, x_k+1, . . . , x_n)

                            = f(x₁, . . . , x_k−1, x`k, x_k+1, . . . , x_n)

                                         + f(x₁, . . . , x_k−1, x``k, x_k+1, . . . , x_n)

and

               f(x₁, . . . , x_k−1, rx_k, x_k+1, . . . , x_n) = rf(x₁, . . . , x_k−1, x_k, x_k+1, . . . , x_n)

for k = 1, 2, . . . , n, for all x_l, x`_l, x``_l ∈ Ml (l = 1, 2, . . . , n), and for all r ∈ R.

(When k = 1 the list x₁, . . . , x_k−1 should be interpreted as the empty list in the formulae above; when k = n the list x_k+1, . . . , x_n should be interpreted as the empty list.) One can construct a module M₁ ⊗_R M₂ ⊗_R · · · ⊗_R M_n,  referred to as the tensor product of the modules M₁, M₂, . . . , M_n over the ring R, and an R-multilinear mapping

j_{M1×M2×···×Mn}: M₁ × M₂ × · · · × M_n → M₁ ⊗_R M₂ ⊗_R · · · ⊗_R M_n

where the tensor product and multilinear mapping j_{M1×M2×···×Mn} satisfy the following universal property:

given any R-module P, and given any R-multilinear function f: M₁ × M₂ × · · · × M_n → P, there exists a unique R-module homomorphism θ: M₁ ⊗_R M₂ ⊗_R · · · ⊗_R M_n → P such that f = θ ◦ j_{M1×M2×···×Mn}

This tensor product is defined to be the quotient of the free module F_R(M₁×M₂×· · ·×M_n) by the submodule K generated by elements of the free module that are of the form

i_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, x`_k + x``_k, x_k+1, . . . , x_n)

             − i_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, x`_k, x_k+1, . . . , x_n)

            − i_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, x``_k, x_k+1, . . . , x_n),

or are of the form

               i_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, rx_k, x_k+1, . . . , x_n)

                       − ri_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, x_k, x_k+1, . . . , x_n),

where x_l, x`_l, x``_l ∈ M_l  for l = 1, 2, . . . , n, and r ∈ R. There is an R-multilinear function

j_{M1×M2×···×Mn}: M₁ × M₂ × · · · × M_n → M₁ ⊗_R M₂ ⊗_R · · · ⊗_R M_n,  where j_{M1×M2×···×Mn}

is the composition π ◦ i_{M1×M2×···×Mn} of the natural embedding

i_{M1×M2×···×Mn}: M₁ × M₂ × · · · × M_n → F_R(M₁ × M₂ × · · · × M_n)

and the quotient homomorphism

            π: F_R(M₁ × M₂ × · · · × M_n) → M₁ ⊗_R M₂ ⊗R · · · ⊗_R M_n.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مجلة تسليم تدعو الباحثين والأكاديميين للمشاركة في أعدادها القادمة

المجمع العلمي يواصل إقامة محاضراته الأسبوعية في مقام الإمام المهدي (عجل الله فرجه)

جامعة الكفيل تطلق الدورة التدريبية الصيفية لطلبة كلية الهندسة التقنية

استعدادًا لزيارة الأربعين العتبة العباسية المقدسة تعقد الورشة التنسيقية الرابعة الخاصة بمراكز إرشاد التائهين

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة علمية تكشف مفاجأة حول الأسباب الحقيقية للسمنة

دراسة: الأطباء يتجاهلون "سببا شائعا" لارتفاع ضغط الدم

نظامك الغذائي غني بالبروتين؟.. احذر هذه الآثار الجانبية

لا تتجاهلها.. أعراض تنذرك بأنك مهدد بالإصابة بالسكري

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ISOFIX: معيار الأمان الذهبي لمقاعد الأطفال في السيارات

هل المحرك الأكبر دائمًا الأفضل للسيارة؟

اختبارات ناجحة لمحرك "VK-800" الروسي وتطويره لطائرة بايكال الخفيفة

رئيس إنفيديا: الذكاء الاصطناعي الصيني "محفز للتقدم العالمي"

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle