Let M₁, M₂, . . . , M_n be modules over a unital commutative ring R, and let P be an R-module. A function f: M₁ × M₂ × · · · × M_n → P is said to be R-multilinear if

              f(x₁, . . . , x_k−1, x`k + x``_k, x_k+1, . . . , x_n)

                            = f(x₁, . . . , x_k−1, x`k, x_k+1, . . . , x_n)

                                         + f(x₁, . . . , x_k−1, x``k, x_k+1, . . . , x_n)

and

               f(x₁, . . . , x_k−1, rx_k, x_k+1, . . . , x_n) = rf(x₁, . . . , x_k−1, x_k, x_k+1, . . . , x_n)

for k = 1, 2, . . . , n, for all x_l, x`_l, x``_l ∈ Ml (l = 1, 2, . . . , n), and for all r ∈ R.

(When k = 1 the list x₁, . . . , x_k−1 should be interpreted as the empty list in the formulae above; when k = n the list x_k+1, . . . , x_n should be interpreted as the empty list.) One can construct a module M₁ ⊗_R M₂ ⊗_R · · · ⊗_R M_n,  referred to as the tensor product of the modules M₁, M₂, . . . , M_n over the ring R, and an R-multilinear mapping

j_{M1×M2×···×Mn}: M₁ × M₂ × · · · × M_n → M₁ ⊗_R M₂ ⊗_R · · · ⊗_R M_n

where the tensor product and multilinear mapping j_{M1×M2×···×Mn} satisfy the following universal property:

given any R-module P, and given any R-multilinear function f: M₁ × M₂ × · · · × M_n → P, there exists a unique R-module homomorphism θ: M₁ ⊗_R M₂ ⊗_R · · · ⊗_R M_n → P such that f = θ ◦ j_{M1×M2×···×Mn}

This tensor product is defined to be the quotient of the free module F_R(M₁×M₂×· · ·×M_n) by the submodule K generated by elements of the free module that are of the form

i_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, x`_k + x``_k, x_k+1, . . . , x_n)

             − i_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, x`_k, x_k+1, . . . , x_n)

            − i_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, x``_k, x_k+1, . . . , x_n),

or are of the form

               i_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, rx_k, x_k+1, . . . , x_n)

                       − ri_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, x_k, x_k+1, . . . , x_n),

where x_l, x`_l, x``_l ∈ M_l  for l = 1, 2, . . . , n, and r ∈ R. There is an R-multilinear function

j_{M1×M2×···×Mn}: M₁ × M₂ × · · · × M_n → M₁ ⊗_R M₂ ⊗_R · · · ⊗_R M_n,  where j_{M1×M2×···×Mn}

is the composition π ◦ i_{M1×M2×···×Mn} of the natural embedding

i_{M1×M2×···×Mn}: M₁ × M₂ × · · · × M_n → F_R(M₁ × M₂ × · · · × M_n)

and the quotient homomorphism

            π: F_R(M₁ × M₂ × · · · × M_n) → M₁ ⊗_R M₂ ⊗R · · · ⊗_R M_n.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يطلق باقة من النشاطات الرقمية الخاصة بشهر المحرم

العتبة العباسية المقدسة تختتم السلسلة الأولى لمشروع المحاضرات القرآنية العاشورائية في بابل

العتبة العباسية المقدسة تسلّم راية العزاء إلى تجمّع مواكب محافظة الديوانية

قسم الشؤون الفكرية يواصل إقامة المجالس الحسينية ضمن سلسلة (بيوت النعيم)

المزيد

الآخبار الصحية

تناول الجبن.. مفيد للجسم أم خطر يهدد صحتك؟

طبيبة أسنان تحذر.. لا تتجاهل هذه العلامة بعد التنظيف

يجب أن تأكل المزيد من الشمام هذا الصيف.. إليك السبب ؟

تأثير صحي كبير.. كم بيضة يجب أن تتناول يوميا؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

أداء خلايا البيروفسكايت الشمسية تحت الماء قد يزيد كفاءة تحويل الكهرباء

مسافة الأمان: أساس القيادة الآمنة وتجنب الحوادث

هل القيادة السريعة تعني استهلاك اكثر للوقود؟

لماذا يعتبر كوكب المريخ غير صالح للحياة؟

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle