المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر

الجرح والتعديل وتعارضهما
15-8-2016
اذكر المحاصيل المقاومة لثلاثة أنواع من مبيدات الأدغال؟
6-10-2021
شهاداتٌ وإفادات عظماء قريش بالقران الكريم
7-11-2014
Payam Number
18-1-2021
الشيخ أحمد بن الشيخ إبراهيم بن عبد السلام البحراني
21-8-2020
syllable-timed (adj.)
2023-11-24

Modules-Modules  
  
1632   01:32 مساءً   date: 1-7-2017
Author : David R. Wilkins
Book or Source : Algebraic Topology
Page and Part : 82-85


Read More
Date: 5-8-2021 1537
Date: 10-8-2021 1925
Date: 25-6-2017 1211

Definition Let R be a unital ring. A set M is said to be a left module over the ring R (or left R-module) if  (i) given any x, y ∈ M and r ∈ R, there are well-defined elements x + y and rx of M,

(ii) M is an Abelian group with respect to the operation + of addition,

(iii) the identities

                                          r(x + y) = rx + ry,                                          (r + s)x = rx + sx,

                                                  (rs)x = r(sx),                                                              1Rx = x

are satisfied for all x, y ∈ M and r, s ∈ R, where 1R denotes the multiplicative identity element of the ring R.

Definition Let R be a unital ring. A set M is said to be a right module over R (or right R-module) if  (i) given any x, y ∈ M and r ∈ R, there are well-defined elements x + y and xr of M,

(ii) M is an Abelian group with respect to the operation + of addition,

(iii) the identities

                            (x + y)r = xr + yr,                           x(r + s) = xr + xs,

                                     x(rs) = (xr)s,                                 x1R = x

are satisfied for all x, y ∈ M and r, s ∈ R, where 1R denotes the multiplicative identity element of the ring R.

If the unital ring R is a commutative ring then there is no essential distinction between left R-modules and right R-modules. Indeed any left module M over a unital commutative ring R may be regarded as a right module on defining xr = rx for all x ∈ M and r ∈ R. We define a module over a unital commutative ring R to be a left module over R.

Example If K is a field, then a K-module is by definition a vector spaceover K.

 

Example Let (M, +) be an Abelian group, and let x ∈ M. If n is a positive integer then we define nx to be the sum x + x + · · · + x of n copies of x. If n is a negative integer then we define nx = −(|n|x), and we define 0x = 0.

This enables us to regard any Abelian group as a module over the ring Z of integers. Conversely, any module over Z is also an Abelian group.

 

Example Any unital commutative ring can be regarded as a module over itself in the obvious fashion.

Let R be a unital ring that is not necessarily commutative, and let + and × denote the operations of addition and multiplication defined on R. We denote by Rop the ring (R, +, ×-), where the underlying set of Rop is R itself, the operation of addition on Rop coincides with that on R, but where the operation of multiplication in the ring Rop is the operation ×- defined so that r×-s = s × r for all r, s ∈ R. Note that the multiplication operation on the ring Rop coincides with that on the ring R if and only if the ring R is commutative.

Any right module over the ring R may be regarded as a left module over the ring Rop. Indeed let MR be a right R-module, and let r.x = xr for all x ∈ MR and r ∈ R. Then

                                r.(s.x) = (s.x)r = x(sr) = x(r×-s) = (r×-s).x

for all x ∈ MR and r, s ∈ R. Also all other properties required of left modules over the ring Rop are easily seen to be satisfied. It follows that any general results concerning left modules over unital rings yield corresponding results concerning right modules over unital rings.

      Let R be a unital ring, and let M be a left R-module. A subset L of M is said to be a submodule of M if x + y ∈ L and rx ∈ L for all x, y ∈ L and r ∈ R. If M is a left R-module and L is a submodule of M then the quotient group M/L can itself be regarded as a left R-module, where r(L+x) ≡ L+rx for all L + x ∈ M/L and r ∈ R. The R-module M/L is referred to as the quotient of the module M by the submodule L.

 A subset L of a ring R is said to be a left ideal of R if 0 ∈ L, −x ∈ L,  x + y ∈ L and rx ∈ L for all x, y ∈ L and r ∈ R. Any unital ring R may be regarded as a left R-module, where multiplication on the left by elements of R is defined in the obvious fashion using the multiplication operation on the ring R itself. A subset of R is then a submodule of R (when R is regarded as a left module over itself) if and only if this subset is a left ideal of R.

Let M and N be left modules over some unital ring R. A function ϕ: M → N is said to be a homomorphism of left R-modules if ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y)  and ϕ(rx) = rϕ(x) for all x, y ∈ M and r ∈ R. A homomorphism of Rmodules is said to be an isomorphism if it is invertible. The kernel ker ϕ and image ϕ(M) of any homomorphism ϕ: M → N are themselves R-modules.

Moreover if ϕ: M → N is a homomorphism of R-modules, and if L is a submodule of M satisfying L ⊂ ker ϕ, then ϕ induces a homomorphism ϕ-: M/L → N. This induced homomorphism is an isomorphism if and only if

           L = ker ϕ and N = ϕ(M).

Definition Let M1, M2, . . . , Mk be left modules over a unital ring R. The direct sum M1⊕M2⊕· · ·⊕Mk of the modules M1, M2, . . . , Mk is defined to be the set of ordered k-tuples (x1, x2, . . . , xk), where xi ∈ Mi  for i = 1, 2, . . . , k.

This direct sum is itself a left R-module, where

                          (x1, x2, . . . , xk) + (y1, y2, . . . , yk) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xk + yk),

                                              r(x1, x2, . . . , xk) = (rx1, rx2, . . . , rxk)

for all xi, yi ∈ Mi and r ∈ R.

If K is any field, then Kn

is the direct sum of n copies of K.

Definition Let M be a left module over some unital ring R. Given any subset X of M, the submodule of M generated by the set X is defined to be the intersection of all submodules of M that contain the set X. It is therefore the smallest submodule of M that contains the set X. A left R-module M is said to be finitely-generated if it is generated by some finite subset of itself.

 

Lemma 1.4 Let M be a left module over some unital ring R. Then the submodule of M generated by some finite subset {x1, x2, . . . , xk} of M consists of all elements of M that are of the form

                          r1x1 + r2x2 + · · · + rkxk

for some r1, r2, . . . , rk ∈ R.

Proof The subset of M consisting of all elements of M of this form is clearly a submodule of M. Moreover it is contained in every submodule of M that contains the set {x1, x2, . . . , xk}. The result follows.

 

 




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.