Let K be a simplicial complex. A q-chain z is said to be a q-cycle if ∂_qz = 0. Aq-chain b is said to be a q-boundary if b = ∂_q+1c΄for some (q+1)-chain c΄ . Thegroup of q-cycles of K is denoted by Z_q(K), and the group of q-boundaries of K is denoted by B_q(K). Thus Z_q(K) is the kernel of the boundary homomorphism ∂_q: C_q(K) → C_q−1(K), and B_q(K) is the image of the bound ary homomorphism ∂_q+1: C_q+1(K) → C_q(K). However ∂_q ◦ ∂_q+1 = 0, by  (∂_q−1 ◦ ∂_q = 0 for all integers q.). Therefore B_q(K) ⊂ Z_q(K). But these groups are subgroups of the Abelian group C_q(K). We can therefore form the quotient group H_q(K),  where H_q(K) = Z_q(K)/B_q(K). The group H_q(K) is referred to as the q^th homology group of the simplicial complex K. Note that H_q(K) = 0 if q < 0   or q > dim K (since Z_q(K) = 0 and B_q(K) = 0 in these cases). It can be shown that the homology groups of a simplicial complex are topological invariants of the polyhedron of that complex.

The element [z] ∈ H_q(K) of the homology group H_q(K) determined by z ∈ Z_q(K) is referred to as the homology class of the q-cycle z. Note that  [z₁ + z₂] = [z₁] + [z₂] for all z₁, z₂ ∈ Z_q(K), and [z₁] = [z₂] if and only if z₁ − z₂ = ∂_q+1c for some (q + 1)-chain c.

Proposition 1.1 Let K be a simplicial complex. Suppose that there exists a vertex w of K with the following property:

• if vertices v₀, v₁, . . . , v_q span a simplex of K then so do w, v₀, v₁, . . . , v_q.

Then H₀(K) ≅ Z, and H_q(K) is the zero group for all q > 0.

Proof Using Lemma 6.2, we see that there is a well-defined homomorphism D_q: C_q(K) → C_q+1(K) characterized by the property that

                     D_q(〈v₀, v₁, . . . , v_q〉) = 〈w, v₀, v₁, . . . , v_q〉

whenever v₀, v₁, . . . , v_q span a simplex of K. Now ∂₁(D₀(v)) = v − w for all vertices v of K. It follows that

for all ∑^s_r=1 n_r〈v_r〉 ∈ C₀(K). But Z₀(K) = C₀(K) (since ∂₀ = 0 by definition),  and thus H₀(K) = C₀(K)/B₀(K). It follows that there is a well-defined surjective homomorphism from H₀(K) to Z induced by the homomorphism from C0(K) to Z that sends ∑^s_r=1 n_r〈v_r〉∈ C0(K) to ∑^s_r=1 n_r. Moreover this induced homomorphism is an isomorphism from H₀(K) to Z.

Now let q > 0. Then

whenever v₀, v₁, . . . , v_q span a simplex of K. Thus

                   ∂_q+1(D_q(c)) + D_q−1(∂_q(c)) = c

for all c ∈ C_q(K). In particular z = ∂_q+1(D_q(z)) for all z ∈ Z_q(K), and hence Z_q(K) = B_q(K). It follows that H_q(K) is the zero group for all q > 0, as required.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

جمعية كشافة الكفيل: المجالس الحسينية تعلّم الفتية قيم نهضة الإمام الحسين (عليه السلام)

عَبرَ المجالس الحسينية.. المجمَع العلمي يقدّم محاضرات دينية وتلاوات قرآنية في بغداد والنجف وميسان

برعاية العتبة العباسية المقدسة.. موكب قناديل السماء يُحيي مراسم اليوم الثالث عشر من المحرّم

بعد انتهاء مراسم ذكرى دفن الأجساد الطاهرة قسم رعاية الصحن يباشر بحملة تنظيف واسعة لصحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

اختراق علمي.. دواء يؤخر ظهور السكري من النوع الأول لسنوات

هذا ما يحدث لجسمك إن أهملت نظافة فراشك

لماذا تعتبر النساء أكثر عرضة للإصابة بألزهايمر من الرجال؟

لماذا يحذر الخبراء من الإفراط في تناول الفراولة؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

السيارات الكهربائية أنظف بنسبة 73% من سيارات الوقود

سيارة لوسِد الكهربائية تدخل "غينيس" بأطول مدى في العالم

نظرية جديدة تنسف كل ما نعرفه عن تشكل أول قارة في الأرض

منذ 37 ألف عام.. دراسة تكشف "أقدم أمراض" أصابت البشر

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle