Definition Points v₀, v₁, . . . , v_q in some Euclidean space R^k are said to be geometrically independent (or affine independent) if the only solution of the linear system

is the trivial solution λ₀ = λ₁ = · · · = λ_q = 0.

It is straightforward to verify that v₀, v₁, . . . , v_q are geometrically independent if and only if the vectors v₁ − v₀, v₂ − v₀, . . . , v_q − v₀ are linearly independent. It follows from this that any set of geometrically independent points in R^k has at most k + 1 elements. Note also that if a set consists of geometrically independent points in R^k, then so does every subset of that set.

Definition A q-simplex in R^k is defined to be a set of the form

where v₀, v₁, . . . , v_q are geometrically independent points of R^k. The points v₀, v₁, . . . , v_q are referred to as the vertices of the simplex. The non-negative integer q is referred to as the dimension of the simplex.

Note that a 0-simplex in R^k is a single point of R^k, a 1-simplex in R^k is a line segment in R^k , a 2-simplex is a triangle, and a 3-simplex is a tetrahedron.

Let σ be a q-simplex in R^k with vertices v₀, v₁, . . . , v_q. If x is a point of σ then there exist real numbers t₀, t₁, . . . , t_q such that

Moreover t₀, t₁, . . . , t_q are uniquely determined:

Hence t_j − s_j = 0 for all j, since v₀, v₁, . . . , v_q are geometrically independent. We refer to t₀, t₁, . . . , t_q as the barycentric coordinates of the point x of σ.

Lemma 1.1 Let q be a non-negative integer, let σ be a q-simplex in R^m, and let τ be a q-simplex in Rⁿ, where m ≥ q and n ≥ q. Then σ and τ are homeomorphic.

Proof Let v₀, v₁, . . . , v_q be the vertices of σ, and let w₀, w₁, . . . , w_q be the vertices of τ . The required homeomorphism h: σ → τ is given by

for all t₀, t₁, . . . , t_q satisfying 0 ≤ t_j ≤ 1 for j = 0, 1, . . . , q and

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

جولة تفقدية لمتابعة خطة تنظيم مداخل المعزّين المشاركين في عزاء ركضة طويريج

لتعزيز التعاون الأكاديمي والبحثي.. جامعة الكفيل توقع اتفاقيتي توأمة مع جامعتين عراقيتين

المجمَع العلميّ يواصل إقامة مجلسه العزائي بذكرى شهادة الإمام الحسين (عليه السلام) في النجف الأشرف

قسم حفظ النظام يواصل تنفيذ خطته لتنظيم سير المواكب والزائرين في شهر المحرم

المزيد

الآخبار الصحية

لهذا السبب.. إغلاق 25 مركزًا لعلاج الإدمان في مصر ؟

خلافا للاعتقاد الشائع.. علماء يكشفون أسرار بذور البطيخ ؟!

هذا ما يحدث لجسمك عند تناولك الطماطم بانتظام !

تعرف على أطعمة تسرّع "تعافي الجسم" من حروق الشمس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الثلوج تغطي الصحراء الأكثر جفافا في العالم!

بتلسكوب "ألما".. التقاط صورا غير مسبوقة لبدايات الكون !

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle