المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر

سماع الشهود والمواجهة
1-2-2016
الشروط الشكلية للشيك
30-4-2017
Moderator Effects
18-4-2017
نظريات نشوء الأهوار في جنوب العراق - النظرية الأولى
17-12-2020
الاعلم بما صنع
7-03-2015
حشرات الطماطم والفلفل والباذنجان
6-11-2016

Topological Spaces-Metric Spaces  
  
1645   01:22 مساءاً   date: 22-9-2016
Author : David R. Wilkins
Book or Source : Algebraic Topology
Page and Part : 1-3


Read More
Date: 26-5-2021 1121
Date: 23-5-2021 1315
Date: 6-7-2021 1160

Definition A metric space (X, d) consists of a set X together with a distance function d: X × X → [0, +∞) on X satisfying the following axioms:

(i) d(x, y) ≥ 0 for all x, y ∈ X,

(ii) d(x, y) = d(y, x) for all x, y ∈ X,

(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) for all x, y, z ∈ X,

(iv) d(x, y) = 0 if and only if x = y.

The quantity d(x, y) should be thought of as measuring the distance between the points x and y. The inequality d(x, z) ≤ d(x,y)+d(y, z) is referred to as the Triangle Inequality. The elements of a metric space are usually referred to as points of that metric space.

An n-dimensional Euclidean space Rn is a metric space with with respectto the Euclidean distance function d, defined by

for all x, y ∈ Rn. Any subset X of Rn may be regarded as a metric space whose distance function is the restriction to X of the Euclidean distance function on R n defined above.

Definition: Let (X, d) be a metric space. Given a point x of X and r ≥ 0,  the open ball BX(x, r) of radius r about x in X is defined by

BX(x, r) ≡ {x΄ ∈ X : d(x΄, x) < r}.

Definition: Let (X, d) be a metric space. A subset V of X is said to be an open set if and only if the following condition is satisfied:

• given any point v of V there exists some δ > 0 such that BX(v, δ) ⊂ V .

By convention, we regard the empty set ∅ as being an open subset of X.

(The criterion given above is satisfied vacuously in this case.)

 

Lemma 1.1 Let X be a metric space with distance function d, and let x0 be a point of X. Then, for any r > 0, the open ball BX(x0, r) of radius r about

x0 is an open set in X.

Proof Let x ∈ BX(x0, r). We must show that there exists some δ > 0 such that BX(x, δ) ⊂ BX(x0, r). Now d(x, x0) < r, and hence δ > 0, where

δ = r − d(x, x0). Moreover if x΄ ∈ BX(x, δ) then

                                             d(x΄, x0) ≤ d(x΄, x) + d(x, x0) < δ + d(x, x0) = r,

by the Triangle Inequality, hence x΄ ∈ BX(x0, r). Thus BX(x, δ) ⊂ BX(x0, r),  showing that BX(x0, r) is an open set, as required.

 

Proposition 1.2 Let X be a metric space. The collection of open sets in X has the following properties:—

(i) the empty set ∅ and the whole set X are both open sets;

(ii) the union of any collection of open sets is itself an open set;

(iii) the intersection of any finite collection of open sets is itself an open set.

 

Proof The empty set ∅ is an open set by convention. Moreover the definition of an open set is satisfied trivially by the whole set X. Thus (i) is satisfied.

Let A be any collection of open sets in X, and let U denote the union of all the open sets belonging to A. We must show that U is itself an open set.

Let x ∈ U. Then x ∈ V for some open set V belonging to the collection A.  Therefore there exists some δ > 0 such that BX(x, δ) ⊂ V . But V ⊂ U, and thus BX(x, δ) ⊂ U. This shows that U is open. Thus (ii) is satisfied.

Finally let V1, V2, V3, . . . , Vk be a finite collection of open sets in X, and let V = V1 ∩ V2 ∩ · · · ∩ Vk. Let x ∈ V . Now x ∈ Vj for all j, and therefore there exist strictly positive real numbers δ1, δ2, . . . , δk such that BX(x, δj ) ⊂ Vj for j = 1, 2, . . . , k. Let δ be the minimum of δ1, δ2, . . . , δk. Then δ > 0.

(This is where we need the fact that we are dealing with a finite collection of open sets.) Moreover BX(x, δ) ⊂ BX(x, δj ) ⊂ Vj for j = 1, 2, . . . , k, and thus BX(x, δ) ⊂ V . This shows that the intersection V of the open sets V1, V2, . . . , Vk is itself open. Thus (iii) is satisfied.

Any metric space may be regarded as a topological space. Indeed let X be a metric space with distance function d. We recall that a subset V of X is an open set if and only if, given any point v of V , there exists some δ > 0 such that {x ∈ X : d(x, v) < δ} ⊂ V . Proposition 1.2 shows that the topological space axioms are satisfied by the collection of open sets in any metric space. We refer to this collection of open sets as the topology generated by the distance function d on X.

 

 

 

 

 

 

 

 




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.