دوائر LRC مجتمعة ؛ علاقة الطور بين التيار والجهد

ان دالة تتصل فيها العناصر الثلاثة معاً على التوالي، وهي الدائرة التي تعرف بدائرة LRC على التوالي ويبين إحداهما الشكل (1) ونود الآن تحديد العلاقة ــ كما سبق ــ بين قيم rms للجهد. كما نود أن نحدد علاقة الطور بين القيم اللحظية v و i وفقد القدرة في الدائرة.

شكل 1)): دائرة  LRC على التوالي.

وفي البداية ، نؤكد أن كل عنصر في الدائرة لابد أن يمر به نفس التيار اللحظي. وسنعتبر هذا التيار على صورة، i(t) = i₀ sin 2πf t والشكل ( 2أ) يمثل هذا التيار بيانياً. ونستطيع على الفور أن نرسم بيانياً الجهد عبر كل من عناصر الدائرة بناء على مناقشتنا السابقة. والجهد عبر R وهو v_R يتفق في الطور مع i (الشكل ( 2ب) ؛ أما الجهد عبر C وهو v_C فيتأخر عن التيار بربع دورة (( 2جـ)) ، أما الجهد عبر L ، v_L فيقود التيار ، أي يسبقه بربع دورة ( الشكل ( 2د)).

يلاحظ من هذه المرسومات البيانية أن V_L و V_C لهما دائماً إشارة معاكسة ، ولهذا فهما يطرحان من بعضهما. افترض أن فولتميتر تيار متردد يسجل V_L عبر ملف المحاثة Vc عبر المكثف. فإذا كان V_L = V_C فإن سعتي v_C وv_L  ستكونان متساويتين تماماً، ويلغى v_C تماماً v_L  وفي هذه الحالة فإن الفولتميتر المتصل بين النقطتين b و d في الشكل (1) سوف يسجل صفراً وليس V_C + V_L! وهكذا نرى أن قراءات فولتميتر التيار المتردد لا تجمع لكل تعطى فروق الجهد الصحيحة. وعلى الرغم من ان الجهود اللحظية تجمع مباشرة، إلا أن قيم rms للجهود والتي تسجلها أجهزة قياس التيار المتردد تكون دائماً موجبة ولا تظهر آثار الإلغاء التي قد تكون موجودة.

شكل (2) : v_R فقط هو المتفق في الطور مع i. اما V_L وV_C  فتختلف في الطور بمقدار (1/4) دورة (90) مع i.

ويمكن جمع المقادير المتذبذبة التي تكون مختلفة في الطور مع بعضها البعض بواسطة رسم هندسي بياني بسيط. ومفتاح فهم هذا الرسم هو في معرفة أن 1/4 دورة تكافئ اختلافاً مقداره 90^o في طور كمية تتغير جيبياً مع الزمن . وسنمثل سعة الجهد عبر R وهي v_0R بمتجه يتجه نحو ال اليمين في الشكل (3 أ) . ونعلم أن هذا الجهد متفق في الطور مع التيار المار في الدائرة ولذلك فإن هذا الاتجاه هو الذي يمثل التيار أيضاً. ولكي نمثل سعة الجهد v_0L عبر L فلابد من رسم متجه يتجه بزاوية 90 بعيداً عن v_0R كما الشكل (3 أ). وهذه الزاوية هي التي تناظر اختلافاً في الطور مقداره ربع دورة بين v_0R وi₀ . اما سعة الجهد v_0C عبر المكثف فلابد من رسمها في اتجاه ضد اتجاه .v_0L وتتحد مقادير هذه المتجهات من قانون أوم والقوانين المكافئة له.

شكل (3) : تجمع قيم rms للجهود في دائرة RLC جمعاً متجهياً ( جمع متجهات).

ويمكننا الحصول على السعة الخاصة بالجهد الكلي v₀ المطبق على الدائرة باللجوء إلى جمع المتجهات المعتاد. فنبدأ أولاً بطرح v_0L وv_0C  المتعارضين كما في الشكل (3 ب). ثم نضيف هذا المتجه الناتج إلى v_0R باستخدام نظرية فيثاغورس.

وبأخذ الجذر التربيعي لهذا المقدار فإننا نحصل على القانون المكافئ لقانون أوم بالنسبة لدائرة LRC:

 (1)                       

حيث يطلع على Z اسم معاوقة الدائرة وتعطى بالمعادلة

(2)             

ووحدات Z هي الأوم كما يمكنك استنتاج ذلك بسهولة. ويوضح الشكل (4) العلاقة التربيعية بين R ، (X_L - X_C) و Z بما يتفق مع المعادلة (2) .

ومن الطبيعي ان تنطبق المعادلة ((1 أيضاً على قيم rms لكل من I و V لأنهما ببساطة حاصل ضرب المعامل الثابت 0.707 في السعات المناظرة. ويلاحظ أن الأمر سيان، سواء طرحنا X_L من X_C او العكس؛ لأننا في كلتا الحالتين سوف نربع الفرق عند حساب Z.

والزاوية ϕ في الشكل (4) هي الفرق في الطور بين i و v في الدائرة. ولكي ندرك هذا، فإن عليك ملاحظة أنها الزاوية المحصورة بين الجهد الكلي والجهد عبر R الذي يتفق في الطور مع i. ونستطيع بسهولة أن نحصل على ϕ من :

(3)                                           

شكل ((4: تمثل المعاوقة بوتر المثلث قائم الزاوية الذي ضلعاه هما R و|X_L – X_C|. والزاوية ϕ هي زاوية الطور بين i₀ (في اتجاه محور R) و v₀ ( في اتجاه المحور Z).

إذا كان X_L > X_C فإن الجهد يتقدم على التيار (يقوده) بزاوية طول مقدارها ϕ .أما إذا كان X_L < X_C فإن الجهد يتخلف ( يتأخر) عن التيار بالزاوية ϕ.

وعلى الرغم من معرفتنا أن فقد القدرة في الدائرة يحدث كلية في R ويساوي I²R إلا أن هناك طريقة مفيدة لحساب الفقد في القدرة.

(4)             

حيث استخدمت المعادلة (3) و V و I هي قيم rms لها كالمعتاد. ويسمى المعامل cos ϕ بمعامل القدرة للدائرة.

ولدينا حالتان مثيرتان للاهتمام. إذا كانت الدائرة تحتوي على R و C فقط (أي أنها دائرة RC) ، فيمكننا عندئذ وضع L = 0 و X_L = 0. ومن ثم تؤول معاوقة الدائرة إلى :

أما إذا لم تحتو الدائرة على مكثف، فما هي قيمة X_C التي علينا استعمالها ؟ إذ ليس صحيحاً أن نقول أن C = 0 في هذه الحالة لأن هذا يعنى أن X_C ستكون لانهائية. إن عدم وجود مكثف مكافئ للحالة C = ∞، حيث ان مثل هذا المكثف لن " يشبع" من الشحنات ولن يكون عائقاً أمام التيار بالتالي. وهكذا فإن X_C = 0 سيكون هو الاختيار الصحيح في حالة دائرة RL. وسوف تكون المعاوقة هي