The notion of parallel transport on a manifold  makes precise the idea of translating a vector field  along a differentiable curve to attain a new vector field  which is parallel to . More precisely, let  be a smooth manifold with affine connectionVector Bundle Connection , let  be a differentiable curve from an interval  into , and let  be a vector tangent to  at  for some . A vector field  is said to be the parallel transport of  along  provided that , , is a vector field for which .

Note that the use of the quantifier parallel in the above definition makes reference to the fact that a parallel transport  of a vector field  along a curve  is necessarily covariantly constant, i.e.,  satisfies

(1)

for all  where, here,  denotes the unique covariant derivative of  associated to .

A standard result in differential geometry is that, under the above hypotheses, parallel transports are unique.

In addition to the above definition, some literature defines parallel transport in a more function analytic way. Indeed, given an interval  and a point , a parallel transport  of  along  is nothing more than a linear transformation

(2)

which maps  to . It is obvious that this transformation is invertible, its inverse being given simply by parallel transport along the reversed portion of  from  to . The expression  has added benefit, too, because despite being defined intrinsically in terms of the affine connection  on , it also provides a mechanism whereby one can recover a manifold's affine connection given a collection  of parallel vector fields along a curve . In particular, if  and , then

(3)

where  is the desired vector field given by the connection  and where .

REFERENCES:

Do Carmo, M. Riemannian Geometry. Boston, MA: Birkhäuser, 1993.

Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 2, 3rd ed. Berkeley, CA: Publish or Perish Press, 1999.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمَع العلمي يطلق الدورة التطويرية الخامسة لمعلمي التربية الإسلامية ومدرسيها في النجف الأشرف

خدمات إنسانية متنوّعة تقدّمها شعبة الشهداء والجرحى في مختلف المحافظات

قسم العلاقات العامة يطلق فعاليات مخيم البذرة الواعدة الخاص بأبناء المنتسبين

جامعة العميد تنظم سلسلة دورات تطويرية لملاكاتها الإدارية

المزيد

الآخبار الصحية

اختراق علمي.. دواء يؤخر ظهور السكري من النوع الأول لسنوات

هذا ما يحدث لجسمك إن أهملت نظافة فراشك

لماذا تعتبر النساء أكثر عرضة للإصابة بألزهايمر من الرجال؟

لماذا يحذر الخبراء من الإفراط في تناول الفراولة؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

السيارات الكهربائية أنظف بنسبة 73% من سيارات الوقود

سيارة لوسِد الكهربائية تدخل "غينيس" بأطول مدى في العالم

نظرية جديدة تنسف كل ما نعرفه عن تشكل أول قارة في الأرض

منذ 37 ألف عام.. دراسة تكشف "أقدم أمراض" أصابت البشر

المزيد