المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر


Betti Number  
  
1558   04:01 مساءً   date: 31-5-2021
Author : Bruns, W. and Herzog, J.
Book or Source : Cohen-Macaulay Rings, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1998.
Page and Part : ...


Read More
Date: 15-8-2021 1683
Date: 26-5-2021 1519
Date: 3-8-2021 1012

Betti Number

Betti numbers are topological objects which were proved to be invariants by Poincaré, and used by him to extend the polyhedral formula to higher dimensional spaces. Informally, the Betti number is the maximum number of cuts that can be made without dividing a surface into two separate pieces (Gardner 1984, pp. 9-10). Formally, the nth Betti number is the rank of the nth homology group of a topological space. The following table gives the Betti number of some common surfaces.

surface Betti number
cross-cap 1
cylinder 1
klein bottle 2
Möbius strip 1
plane lamina 0
projective plane 1
sphere 0
torus 2

Let p_r be the group rank of the homology group H_r of a topological space K. For a closed, orientable surface of genus g, the Betti numbers are p_0=1p_1=2g, and p_2=1. For a nonorientable surface with k cross-caps, the Betti numbers are p_0=1p_1=k-1, and p_2=0.

The Betti number of a finitely generated Abelian group G is the (uniquely determined) number n such that

 G=Z^n direct sum G_1 direct sum ... direct sum G_s,

where G_1, ..., G_s are finite cyclic groups (see Kronecker decomposition theorem).

The Betti numbers of a finitely generated module M over a commutative Noetherian local unit ring R are the minimal numbers b_i for which there exists a long exact sequence

 ...-->R^(b_n)-->^(phi_n)R^(b_(n-1))-->^(phi_(n-1))...-->R^(b_1)-->^(phi_1)R^(b_0)-->^(phi_0)M-->^(phi_(-1))0,

which is called a minimal free resolution of M. The Betti numbers are uniquely determined by requiring that b_i be the minimal number of generators of Kerphi_(i-1) for all i>=0. These Betti numbers are defined in the same way for finitely generated positively graded R-modules if R is a polynomial ring over a field.


REFERENCES:

Bruns, W. and Herzog, J. Cohen-Macaulay Rings, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1998.

Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 9-11 and 15-16, 1984.

Munkres, J. R. Elements of Algebraic Topology. New York: Perseus Books Pub.,p. 24, 1993.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.