A smooth structure on a topological manifold (also called a differentiable structure) is given by a smooth atlas of coordinate charts, i.e., the transition functions between the coordinate charts are  smooth. A manifold with a smooth structure is called a smooth manifold (or differentiable manifold).

A smooth structure is used to define differentiability for real-valued functions on a manifold. This extends to a notion of when a map between two differentiable manifolds is smooth, and naturally to the definition of a diffeomorphism. In addition, the smooth structure is used to define manifold tangent vectors, the collection of which is the tangent bundle.

Two smooth structures are considered equivalent if there is a homeomorphism of the manifold which pulls back one atlas to an atlas compatible to the other one, i.e., a diffeomorphism. For instance, any two smooth structures on the circle  are equivalent, as can be seen by integration.

It is surprising that some manifolds admit more than one smooth structure. The first such example was an exotic sphere of , the seven-dimensional hypersphere, found by Milnor (1956) using the calculus of octonions. In the 1980s, several mathematicians, including Casson, Freedman, and Donaldson, showed that four-dimensional Euclidean space  has smooth structures that are distinct from the standard structure. These are called exotic R4s, and some of their techniques involve Donaldson theory.

Another approach to smooth structures is through topological sheaf theory. Notice that a coordinate chart for an -dimensional manifold is really an ordered collection of  continuous functions. Whenever two coordinate charts overlap on the manifold, the functions from one chart are infinitely differentiable with respect to those from the other chart. The collection of compatible real-valued continuous functions defines the sheaf of smooth functions. Conversely, one can define a smooth structure to be defined by a subsheaf of continuous functions which satisfies the mutually differentiable condition.

REFERENCES:

Milnor, J. "On Manifolds Homeomorphic to the 7-Sphere." Ann. Math. 64, 399-405, 1956.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد