‏بما ان بعض العلاقات التي سنناقشها ذات طبيعة منطقية (او شبه منطقية) ، فمن المفيد ان تكون هناك طريقة بسيطة لعرضها . وسيتم هذا بصيغة مبسطة للتفاضل الحملي predicate calculus .

‏اذا اخذنا جملة بسيطة مثل :

جون رجل John is a man فهناك التحميل predication ‏الذي نقول فيه عن الفرد جون ان له خاصية كونه رجلا . من الممكن ان نرمز الى ذلك بـ : ت (أ) [ اختيار الرمز عشوائي ]، حيث تشير " ت " الى الخبر: " رجل". و‌" أ " الى الشخص ‌"جون‌" ونتوسع في هذا الترميز للتعامل مع علاقات تشمل أكثر من شخص . وهكذا فجملة : جون يحب ماري ، يمكن ترميزها بـ: ح (أ ، ب) ، حيث ترمز ‌"ح" الى الفعل يحب و ‌"أ " ‏الى جون و" ب " الى ماري . الفرق بين هذا المثال والمعادلة السابقة ان لدينا مناظرتين arguments  : أ ، ب . من المهم ان نضيف ان المناظرتين متسلسلتان ، اذ ان جون يحب ماري (ح ‌" أ ، ب") ليست مطابقة لـ ماري تحب جون (ح ‌"ب . أ") . وقد تأخذ أحمال أخر في ثلاث مناظرات : الفعل ‌" يعطي " مثلا يأخذ ثلاث مناظرات (وأحيانا أربع : أريك الكتاب مفخرة) . بهذا يكون لجملة : اعطى جون ماري كتابا هذا الرمز : ع

ص97

‏(أ . ب .ح).

 ‏ان الغرض من هذا الترميز على كل حال هو رؤية العلاقات القائمة بين الجمل (او القضيات) . فقد ترغب ان نقول ، اذا كان جون اعزب ، فانه غير متزوج . يمكن تحقيق هذا بالرمز ز (أ)  ← غ  (أ) حيث يعني السهم الاستلزام entailment . و تعني اعزب ، غ غير متزوج ، أ المناظرة اي جون . وتقول : المعادلة الكاملة ان : " جون اعزب " تستلزم :" جون غير متزوج‌"  . على كل  حال ، بما ان الهدف هنا مناقشة العلاقة بين اعزب وغير متزوج ، فنود ان نقول ، .. عن أي شخص ، وليس عن جون فقط ، ان " اعزب" تشترط غير متزوج . وبدلا من استعمال أ ، ب ، ت (الثوابت الشخصية individual variables) التي تشير الى اشخاص معينين ، نستعمل الحروف س ، ص ، ع  ،متغيرات شخصية : للإشارة الى اي شخص . ونقدم المقياس العمومي A ‏(للجميع) . نضع الآن هذا الرمز: A‏س (ز « س‌« ← غ ‌"س" ) ، ويقرأ الرمز كما يلي : لجميع س ، اذا . كان س اعزب يكون س غير متزوج . وقد نود ايضا ان نعامل غير متزوج unmarried ‏على انها لا متزوج married not ،وهذا ما يمكن عمله باستعمال . اشارة النفي N‏: A‏ س (ز " س‌ " N‏  ←م « س») ، وتشير م الى متزوج . 

‏وحيثما تكون لدينا احمال ذات مناظرتين او أكثر (اي احمال ذات موضعين او أكثر ) نستطيع ان نعتبر الاحمال تعبيرا عن العلاقات بين المناظرات . ففي حمل ذي مناظرتين تتميز العلاقات بعدة طرائق ، خاصة بموجب كونها نسقية . symmetric ومتعدية transitive و انعكاسية reflexive تكون العلاقة نسقية اذا ،انطبقت على المناظرتين في كلا الاتجاهين ، اي تكون الحالة بالنسبة الى  " دق " :

(علاقة) كما يلي :  

       A س A  ص ( ق " س ، ص "  ←  ق " ص ، س " ).

ان كثيرا من الألفاظ متعدية - أذا كان جون أمام هاري وهاري امام  بل ، فأن جون ايضا امام بل . وهذا صحيح بالنسبة الى : خلف ، فوق تحت، في

ص98

‏الشمال الى ، في الجنوب الى ، داخل . لكنه لا ينطبق طبعا على التقابل

‏opposite ، فالتقابل نسقي . مثال ذلك، البيت ٢١ ‏والبيت ٢٢ ‏في منطقة سكنية معينة فاذا كان البيت ٢١ ‏مقابلا للبيت ٢٢ ‏، فان البيت ٢٢ ‏بدوره يقابل البيت ٢١ ‏ايضا والتقابل ليس تعدية . (علينا ان نلاحظ ان " متعد " و " غير متعده "

تستعملان بمفهوم مختلف كليا في القواعد‏) . وتكون العلاقة انعكاسية اذا ارتبطت مناظرة بنفسها، اي اذا A  س (ق " س ، ص ") . ويمكن التعبير عن ذلك بـ : مساو الى ، او يشبه، (أربعة تساوي أربعة ، جون يشبه نفسه) . (وهذه الكلمات تعبر عن العلاقات النسقية والمتعدية ايضا) . للانعكاسية على كل حال اهمية قليلة هنا، ولن تناقش بعد الآن .

‏ان العلاقات المعاكسة للعلاقات النسقية والمتعدية والانعكاسية هي العلاقات اللانسقية  asymmetric و اللامتعدية intransitive  و اللا انعكاسية  irreflexive على التوالي . والعلاقة التي تتمثل بها هذه الصفات الثلاث هي علاقة أ ب : (1) اذا كان س أبا لـ ص ، فان ص لا يمكن أبا لـ س(2 )بالإضافة الى ذلك ، اذا كان ص أبا لـ ع ، فان س لا يمكن ان يكون أبا لـ ع (3) س لا يمكن ان يكون أبا لـ ص . لاحظ على كل حال ، ان علاقة غير متصفة بالنسقية والتعدية والانعكاسية (مثل يحب) ليست بالضرورة لا نسقية ولا متعدية اولا انعكاسية : ( ١ ‏) اذا كان س يحب ص فان ص قد يحب س و قد لا يحبه ، ( ٢ ‏) بالإضافة الى ذلك ، اذا كان ص يحب ع ، فان س قد يحب ع وقد لا يحبه ( 3 ‏) س قد يحب س وقد لا يحبه .

ص99