Electron in Magnetic Field

An electron is in free space except for a constant magnetic field B in the z-direction.

a) Show that the magnetic field can be represented by the vector potential A = B(0, x, 0).

b) Use this vector potential to derive the exact eigenfunctions and eigenvalues for the electron.

SOLUTION

a) The relationship between the vector potential and magnetic field is   Using A = B (0, x, 0) does give B = Bẑ. So this vector potential produces the right field.

b) The vector potential enters the Hamiltonian in the form

(1)

One can show easily that p_y and p_z each commute with the Hamiltonian and are constants of motion. Thus, we can write the eigenfunction as plane waves for these two variables, with only the x-dependence yet to be determined:

(2)

The Hamiltonian operating on ѱ gives

(3)

where E_z = h²k²_z/2m. We may write the energy E as

(4)

and find

(5)

(6)

(7)

The energy is given by the component E_z along the magnetic field and the energy E_x for motion in the (x, y) plane. The latter contribution is identical to the simple harmonic oscillator in the x-direction. The frequency is the cyclotron frequency ω_c, and the harmonic motion is centered at the point x₀ which depends upon k_y. The eigenvalues and eigenfunctions are

(8)

(9)

where ѱ_n(x) are the eigenfunctions for the one-dimensional harmonic oscillator.

مواضيع ذات صلة

مصطلحات الفيزياء النووية

إزاحة حمراء REDSHIFT

المركبات النانوية (Nanocomposites)

مولد فان دي جراف الالكتروستاتي

التطويرات التقنية الحديثة في المعجلات الالكتروستاتية

معجلات الالكترونات الالكتروستاتية

معجلات الفان دي جراف الترادفية

الحد من زيادة الطاقة في معجل فان دي جراف

أنبوبة التعجيل قي معجلات الجسيمات من نوع فان دي جراف

ارتكاز معجل فان دي جراف

مبدأ تشغيل معجل الفان دي جراف

القضايا الأخلاقية المتعلقة بتكنولوجيا النانو