Algebra of Angular Momentum

Given the commutator algebra

a) Show that J² = J²₁ + J²₂ + J²₃ commutes with J₃.

b) Derive the spectrum of {J², J₃} from the commutation relations.

SOLUTION

a)

b) Since J² and J₃ commute, we will try to find eigenstates with eigenvalues of J² and J₃ denoted by |jm⟩ where j, m are real numbers:

Since J²₁ + J²₂ + J²₃ ≥ J²₃ we know that λ ≥ m². Anticipating the result, let λ ≡ j(j + 1). Form the raising and lowering operators J₊ and J_-:

Find the commutators

(1)

From part (a) we know that [J_±, J²] = 0. We now ask what is the eigenvalue of J² for the states J_± |jm⟩:

(2)

So, these states have the same eigenvalue of J². Now, examine the eigenvalue of J₃ for these states:

(3)

In (3) we see that J_± has the effect of raising or lowering the m-value of the states |jm⟩ so that

where C^m_j± are the corresponding coefficients. As determined above, we know that j(j + 1) ≥ m², so J_± cannot be applied indefinitely to the state |jm⟩; i.e.,  there must be an m = m_max, m = m_min such that

(4)

(5)

Expand J_-J₊ and apply J_- to (4):

Either the state |jm_max⟩ is zero or j(j + 1) – m²_max – m_nax = 0. So

Similarly,

For j ≥ 0, and since m_max ≥ m_min, the only solution is

We knew that j was real, but now we have m_max – m_min = 2j = integer, so

مواضيع ذات صلة

مصطلحات الفيزياء النووية

إزاحة حمراء REDSHIFT

المركبات النانوية (Nanocomposites)

مولد فان دي جراف الالكتروستاتي

التطويرات التقنية الحديثة في المعجلات الالكتروستاتية

معجلات الالكترونات الالكتروستاتية

معجلات الفان دي جراف الترادفية

الحد من زيادة الطاقة في معجل فان دي جراف

أنبوبة التعجيل قي معجلات الجسيمات من نوع فان دي جراف

ارتكاز معجل فان دي جراف

مبدأ تشغيل معجل الفان دي جراف

القضايا الأخلاقية المتعلقة بتكنولوجيا النانو