Principle of Conformal Mapping

a) Show that the real part U(x, y) and the imaginary part V(x, y) of a differentiable function W(z) of z = z + iy obey Laplace’s equation.

b) If U(x, y) and V(x, y) above are the potentials of two fields F and G in two dimensions, show that at each point (x, y), the fields F and G are orthogonal.

c) Consider the function W(z) = A ln z, where A is a real constant. Find the fields F and G and mention physical (Electrodynamics) problems in which they might occur.

SOLUTION

A differentiable function W(z) = U(x, y) + iV (x, y) satisfies the Cauchy Riemann conditions

(1)

To check that U and V satisfy Laplace’s equation, differentiate (1)

or

Similarly,

and

b) Orthogonality of the functions F and G also follows from (1):

c) The electric field of an infinitely long charged wire passing through the origin is given by  where A = -2λ and λ is the charge per unit length, r is the distance from the wire (see Figure 1.1). The complex potential

Figure 1.1

So

The fields F and G are given by

Note how F and G satisfy the conditions of parts (a) and (b). The magnetic field of a similarly infinite line current can be described by the same potential.

مواضيع ذات صلة

مصطلحات الفيزياء النووية

إزاحة حمراء REDSHIFT

المركبات النانوية (Nanocomposites)

مولد فان دي جراف الالكتروستاتي

التطويرات التقنية الحديثة في المعجلات الالكتروستاتية

معجلات الالكترونات الالكتروستاتية

معجلات الفان دي جراف الترادفية

الحد من زيادة الطاقة في معجل فان دي جراف

أنبوبة التعجيل قي معجلات الجسيمات من نوع فان دي جراف

ارتكاز معجل فان دي جراف

مبدأ تشغيل معجل الفان دي جراف

القضايا الأخلاقية المتعلقة بتكنولوجيا النانو