1

المرجع الالكتروني للمعلوماتية

تاريخ الفيزياء

علماء الفيزياء

الفيزياء الكلاسيكية

الميكانيك

الديناميكا الحرارية

الكهربائية والمغناطيسية

الكهربائية

المغناطيسية

الكهرومغناطيسية

علم البصريات

تاريخ علم البصريات

الضوء

مواضيع عامة في علم البصريات

الصوت

الفيزياء الحديثة

النظرية النسبية

النظرية النسبية الخاصة

النظرية النسبية العامة

مواضيع عامة في النظرية النسبية

ميكانيكا الكم

الفيزياء الذرية

الفيزياء الجزيئية

الفيزياء النووية

مواضيع عامة في الفيزياء النووية

النشاط الاشعاعي

فيزياء الحالة الصلبة

الموصلات

أشباه الموصلات

العوازل

مواضيع عامة في الفيزياء الصلبة

فيزياء الجوامد

الليزر

أنواع الليزر

بعض تطبيقات الليزر

مواضيع عامة في الليزر

علم الفلك

تاريخ وعلماء علم الفلك

الثقوب السوداء

المجموعة الشمسية

الشمس

كوكب عطارد

كوكب الزهرة

كوكب الأرض

كوكب المريخ

كوكب المشتري

كوكب زحل

كوكب أورانوس

كوكب نبتون

كوكب بلوتو

القمر

كواكب ومواضيع اخرى

مواضيع عامة في علم الفلك

النجوم

البلازما

الألكترونيات

خواص المادة

الطاقة البديلة

الطاقة الشمسية

مواضيع عامة في الطاقة البديلة

المد والجزر

فيزياء الجسيمات

الفيزياء والعلوم الأخرى

الفيزياء الكيميائية

الفيزياء الرياضية

الفيزياء الحيوية

الفيزياء العامة

مواضيع عامة في الفيزياء

تجارب فيزيائية

مصطلحات وتعاريف فيزيائية

وحدات القياس الفيزيائية

طرائف الفيزياء

مواضيع اخرى

علم الفيزياء : مواضيع عامة في الفيزياء : مواضيع اخرى :

Rotating Pendulum

المؤلف:  Sidney B. Cahn Boris E. Nadgorny

المصدر:  A GUIDE TO PHYSICS PROBLEMS

الجزء والصفحة:  part 1 , p 19

1-8-2016

1428

Rotating Pendulum

The bearing of a rigid pendulum of mass m is forced to rotate uniformly with angular velocity ω (see Figure 1.1). The angle between the rotation

Figure 1.1

 axis and the pendulum is called θ. Neglect the inertia of the bearing and of the rod connecting it to the mass. Neglect friction. Include the effects of the uniform force of gravity.

a) Find the differential equation for θ.

b) At what rotation rate ωc does the stationary point at θ = 0 become unstable?

c) For ω > ωc what is the stable equilibrium value of θ?

d) What is the frequency Ω of small oscillations about this point?

SOLUTION

We may compute the Lagrangian by picking two appropriate orthogonal coordinates θ and φ, where  equals a constant (see Figure 1.2).

where we consider Ueff = -(1/2) ml2ω2 sin2θ - mgl cos θ.

=Figure 1.2

a) Employing the usual Lagrange equations

we have

(1)

b) (1) has stationary points where ∂Ueff/∂θ = 0.

To check these points for stability, take the second derivative

(2)

At θ = 0 (2) becomes

So at angular velocities  the potential energy has a minimum and the θ = 0 equilibrium point is stable. However at this point is no longer stable. At θ = π:

This point is unstable for all values of ω.

c) At  (2) becomes

So, here at  the equilibrium point is stable.

d) Consider the initial differential equation (1) and substitute for θ, θ → θ3+ δ, where θ3 = cos-1(g/ω2):

For small oscillations, we will use the approximations sin δ = δ, cos δ = 1-(1/2)δ2 and leave only terms linear in δ:

After substituting cos θ3 = g/lω2, we will have for the frequency Ω of small oscillations about this point

EN

تصفح الموقع بالشكل العمودي