تاريخ الفيزياء
علماء الفيزياء
الفيزياء الكلاسيكية
الميكانيك
الديناميكا الحرارية
الكهربائية والمغناطيسية
الكهربائية
المغناطيسية
الكهرومغناطيسية
علم البصريات
تاريخ علم البصريات
الضوء
مواضيع عامة في علم البصريات
الصوت
الفيزياء الحديثة
النظرية النسبية
النظرية النسبية الخاصة
النظرية النسبية العامة
مواضيع عامة في النظرية النسبية
ميكانيكا الكم
الفيزياء الذرية
الفيزياء الجزيئية
الفيزياء النووية
مواضيع عامة في الفيزياء النووية
النشاط الاشعاعي
فيزياء الحالة الصلبة
الموصلات
أشباه الموصلات
العوازل
مواضيع عامة في الفيزياء الصلبة
فيزياء الجوامد
الليزر
أنواع الليزر
بعض تطبيقات الليزر
مواضيع عامة في الليزر
علم الفلك
تاريخ وعلماء علم الفلك
الثقوب السوداء
المجموعة الشمسية
الشمس
كوكب عطارد
كوكب الزهرة
كوكب الأرض
كوكب المريخ
كوكب المشتري
كوكب زحل
كوكب أورانوس
كوكب نبتون
كوكب بلوتو
القمر
كواكب ومواضيع اخرى
مواضيع عامة في علم الفلك
النجوم
البلازما
الألكترونيات
خواص المادة
الطاقة البديلة
الطاقة الشمسية
مواضيع عامة في الطاقة البديلة
المد والجزر
فيزياء الجسيمات
الفيزياء والعلوم الأخرى
الفيزياء الكيميائية
الفيزياء الرياضية
الفيزياء الحيوية
الفيزياء العامة
مواضيع عامة في الفيزياء
تجارب فيزيائية
مصطلحات وتعاريف فيزيائية
وحدات القياس الفيزيائية
طرائف الفيزياء
مواضيع اخرى
Particle in Magnetic Field
المؤلف:
Sidney B. Cahn Boris E. Nadgorny
المصدر:
A GUIDE TO PHYSICS PROBLEMS
الجزء والصفحة:
part 1 , p 31
1-8-2016
1172
Particle in Magnetic Field
a) Give a relationship between Hamilton’s equations under a canonical transformation. Verify that the transformation
is canonical.
b) Find Hamilton’s equations of motion for a particle moving in a plane in a magnetic field described by the vector potential
in terms of the new variables Q1, Q2, P1, P2 introduced above, using ω = eH/mc.
SOLUTION
a) A canonical transformation preserves the form of Hamilton’s equations:
where H = H(Q, P) is the transformed Hamiltonian. It can be shown that Poisson brackets are invariant under such a transformation. In other words, for two functions f, g
(1)
where q, p and Q, P are the old and new variables, respectively. Since we have the following equations for Poisson brackets:
(2)
(1) and (2) combined give equivalent conditions for a transformation to be canonical:
Let us check for our transformation (we let
and
Similarly
and so on.
For a particle in a magnetic field described by the vector potential A =(–YH/2,XH/2,0), which corresponds to a constant magnetic field we should use the generalized momentum P in the Hamiltonian
so the Hamiltonian
So the Hamiltonian H does not depend on Q1, Q2 and
where α is the initial phase. Also
Where X0 and Y0 are defined by the initial conditions. We can write this solution in terms of the variables X, Y, px, py:
Similarly
so this is indeed the solution for a particle moving in one plane in a constant magnetic field perpendicular to the plane.