استراتيجيات حل المسائل الرياضية

  النظام الهندسي :

يتكون النظام الهندسي من عناصر أساسية هي :

أ) المسميات الأولية (غير المعرفات) :

وهي عبارة عن أسماء مجردة ليس لها معنى إلا ضمن المجال الذي تدخله هذه المسميات ومنها : النقطة – المستقيم – الشعاع – المستوى والفراغ ، ولا يوجد لهذه المسميات تعريفات مجردة وصحيحة ، ولكن يمكن تقديمها عن طريق إعطاء أمثلة عليها أو باستخدام الرسوم التوضيحية .

ب) التعاريف (المعرفات)

وهي عبارات رياضية تربط بين المسميات الأولية (بين مسميين أو أكثر) ومن هذه التعاريف أو المعرفات ما يلي :

الزاوية – المثلث – الشكل الرباعي – متوازي الأضلاع – شبه المنحرف – الدائرة وغيرها .

وهذه المعرفات يجب أن تكون لها صفات معينة مثل :

1) أن يعبّر عنها باستخدام مسميات أولية مقبولة .

2) أن يحدّد لها اسماً .

3) أن توضع في أصغر مجموعة تنتمي لها .

4) أن تميّز عن غيرها من أفراد المجموعة التي تنتمي إليها بالصفات الأساسية المميزة لها .

5) أن لا يحتوي التعريف على أشياء غير ضرورية .

ـ) المسلمات :

وهي عبارات أو جمل خبرية يُفترض صحتها دون برهان ومن أشهر المسلمات المعروفة في الهندسة هي مسلمات إقليدس الخمس وهي :

1) بين أي نقطتين في المستوى يمر مستقيم واحد فقط .

2) يمكن مد الخط المستقيم من جهتيه إلى ما لا نهاية أو بلا حدود .

3) يمكن رسم دائرة من أي نقطة معلومة وبأي نصف قطر معلوم .

4) الزوايا القوائم متطابقة .

5) إذا قطع مستقيم مستقيمين وكان مجموع قياس الزاويتين الداخلتين وفي جهة واحدة من القاطع أصغر من قائمتين فإن المستقيمين يلتقيان في تلك الجهة من القاطع .

وقد عدّلت المسلمة الخامسة من قِبل عالم الهندسة (هلبرت) وأصبحت بالشكل التالي "من نقطة خارج مستقيم معلوم يمكن رسم مستقيم واحد فقط لا يتقاطع مع المستقيم المعلوم" وتسمى هذه المسلمة بمسلمة التوازي .

وهذه المسلمة مهمة جداً حيث أثارت جدلاً ونقاشاً وبحثاً مستفيضاً من قِبل علماء الرياضيات حيث أدّت هذه النقاشات إلى اكتشاف هندسات جديدة مثل الهندسة الزائدية والهندسة الناقصية واللتان تسميان بالهندسة اللاإقليدية ، والهندسة اللاإقليدية لها تطبيقاتها في مجالات الفضاء ودراسة الأجرام السماوية لذلك تعتمد عليها وكالات الفضاء مثل ناسا ووكالة الفضاء الأوروبية .

د) النظريات :

وهي عبارات رياضية تحتاج إلى بُرهان أو إثبات ، والنظريات في الهندسة كثيرة وأغلبها معروف للدارس منها للتذكير فقط :

1) زاويتا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساويتان .

2) إذا تقاطع خطان مستقيمان فإن الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية .

3) الضلع الأكبر في المثلث يُقابل الزاوية الكبرى .

4) مجموع طولا ضلعين في أي مثلث أطول من طول الضلع الثالث .

5) إذا مدّ أحد أضلاع المثلث فإن الزاوية الخارجة تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين ما عدا المجاورة لها.

6) مجموع أي زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي الدائري يُساوي قائمتين .

7) متوازيا الأضلاع المتحدان في القاعدة ومحصوران بين مستقيمين متوازيين متكافئين .

8) في أي مثلث قائم الزاوية فإن مربع الوتر يُساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين .

هـ) البُرهان :

قُلنا عن النظريات بأنها عبارات رياضية بحاجة إلى بُرهان أو إِثبات والبُرهان عبارات منطقية متسلسلة ومبرّرة نعتمد فيها على الجمل الشرطية وهي : "بما أن فإن" أو "إذا كان فإن" لنصل إلى برهنة ما نُريد . والآن ومن معرفة مكونات البناء الهندسي نُلاحظ أنه يُمكن أن نشبه البناء الهندسي بالشجرة حيث تمثل المسميات الأولية والتعريفات جذور الشجرة والمسلمات بمثابة الساق والنظرية بمثابة الفروع والأغصان والنتائج والتطبيقات هي بمثابة الثمار .