المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
القيمة الغذائية للثوم Garlic
2024-11-20
العيوب الفسيولوجية التي تصيب الثوم
2024-11-20
التربة المناسبة لزراعة الثوم
2024-11-20
البنجر (الشوندر) Garden Beet (من الزراعة الى الحصاد)
2024-11-20
الصحافة العسكرية ووظائفها
2024-11-19
الصحافة العسكرية
2024-11-19

الازهار والثمار في التين الشوكي (الصبار)
2023-11-10
نموذج عملي
20-11-2020
دور إعادة التدوير في حماية البيئة
16-5-2016
Peter Stefan
26-3-2018
أسباب قبول الإمام الرضا ( عليه السّلام ) بولاية العهد
2023-02-26
Stereochemistry of E2 Reactions
6-1-2022

Matchings-The König–Egerva, ry Theorem  
  
1438   01:52 مساءاً   date: 3-8-2016
Author : Combinatorics and Graph Theory, Second Edition
Book or Source : John M. Harris • Jeffry L. Hirst • Michael J. Mossinghoff
Page and Part : 108-11


Read More
Date: 3-4-2022 1599
Date: 1-4-2022 1485
Date: 26-3-2022 1648

The main theorem that we present in this section is very important, for it is closely related to several results from other areas of graph theory. We will discuss a few of these areas after we have proven the theorem. A set C of vertices in a graph G is said to cover the edges of G if every edge of G is incident with at least one vertex of C.

Such a set C is called an edge cover of G.

Consider the graphs G1 and G2 in Figure 1.1. In G1,theset {b, d, e, a} is an edge cover, as is the set {a, e, f}. In fact, you can see by a little examination that there is no edge cover G1 with fewer than three vertices. So we can say that {a, e, f} is a minimum edge cover of G1.In G2, each of the following sets is an edge cover: {v1,v2,v3,v4,v5,v6} (obviously) and {u2,v6,u1}. What is the size of a minimum edge cover here?

                                             FIGURE 1.1.

We are now ready to prove the following result of K¨ onig [2] and Egerva´ ry[3].

Theorem1.1 (König–Egerva´ ry Theorem).

Let G be a bipartite graph. The maximum number of edges in a matching in G equals the minimum number of vertices in an edge cover of G.

Proof. Let M be a maximum matching of G. Let X and Y be the partite sets of G,and let W be the set of all M-unsaturated vertices of X (see Figure 1.2).

Note that |M| = |X|−|W|.

                        FIGURE 1.2.

Now let A be the set of vertices of G that can be reached via an M-alternating path from some vertex of W. Let S = A ∩ X, and let T = A ∩ Y . We can note two things now: First, S W is matched to T (implying that |W| = |S|−|T |), and second, N(S)= T .

If we let C =(X S) ∪ T , we see that C covers the edges of G. So C is an edge cover of G, and |C| = |X|−|S| + |T | = |X|−|W| = |M|. Now suppose that C/ is any edge cover. Since each vertex of C--------- can cover at most one edge of M, it must be that |C/ |≥|M|. We conclude then that C is a minimum edge cover.

The König–Egerva´ ry Theorem is one of several theorems in graph theory that relate the minimum of one thing to the maximum of something else. What follows are some examples of theorems that are very closely related to the König–Egerva´ ry Theorem.

Menger’s Theorem

Let G be a connected graph, and let u and v be vertices of G.If S is a subset of vertices that does not include u or v, and if the graph G − S has u and v indifferent connected components, then we say that S is a u, v-separating set. The following result is known as Menger’s Theorem [4].

Theorem 1.2.

 Let G be a graph and let u and v be vertices of G. The maximumnumber of internally disjoint paths from u to v equals the minimum number of vertices in a u, v-separating set.

Max Flow Min Cut Theorem

A graph can be thought of as a flow network, where one vertex is specified to be the source of the flow and another is specified to be the receiver of the flow. As an amount of material flows from source to receiver, it passes through other intermediate vertices, each of which has a particular flow capacity. The total flow of a network is the amount of material that is able to make it from source to receiver.A cut in a network is a set of intermediate vertices whose removal completely cuts the flow from the source to the receiver. The capacity of the cut is simply the sum of the capacities of the vertices in the cut.

Theorem 1.3.

Let N be a flow network. The maximum value of total flow equals the minimum capacity of a cut.

Independent Zeros

If A is an m × n matrix with real entries, a set of independent zeros in A can be thought of as a set of ordered pairs {(i1,j1), (i2,j2),..., (it,jt)} with the following properties:

That is, none of the zeros in the set are in the same row or column. Now, in this matrix A one can draw lines through each row and column that contains a zero. Such a set of lines is said to cover the zeros of A.

Theorem 1.4.

 The maximum number of independent zeros in A is equal to the minimum number of lines through rows or columns that together cover all the zeros of A.

_______________________________________________________________________________

1-Combinatorics and Graph Theory, Second Edition, John M. Harris • Jeffry L. Hirst • Michael J. Mossinghoff,2000,page(108-11)

2-D. König, Graphen und Matrizen, Math. Fiz. Lapok 38 (1931), 116–119.

3- E. Egerva´ ry, Matrixok Kombinato´ rius Tulajdonsa´ gairo´ l,Mat.Fiz.Lapok 38 (1931), 16–28..

4-K. Menger, Zur allgemenen Kurventheorie, Fund. Math. 10 (1927), 95–115.

 

 




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.