المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية

ألم الفراق أصعب
30-9-2019
النميمة
14-8-2020
دليل دورة الموازنة ومهام دائرة الموازنة العامة
2024-08-14
الإعلام العربي الدولي
16-8-2022
خبر الواحد
5-2-2017
العَديل بن الفرخ العِجلي
29-12-2015

Jacobi Method  
  
1725   04:41 مساءً   date: 1-12-2021
Author : Acton, F. S
Book or Source : Numerical Methods That Work, 2nd printing. Washington, DC: Math. Assoc. Amer
Page and Part : ...


Read More
Date: 23-11-2021 933
Date: 15-9-2021 1118
Date: 20-8-2021 1102

Jacobi Method

The Jacobi method is a method of solving a matrix equation on a matrix that has no zeros along its main diagonal (Bronshtein and Semendyayev 1997, p. 892). Each diagonal element is solved for, and an approximate value plugged in. The process is then iterated until it converges. This algorithm is a stripped-down version of the Jacobi transformation method of matrix diagonalization.

The Jacobi method is easily derived by examining each of the n equations in the linear system of equations Ax=b in isolation. If, in the ith equation

 sum_(j=1)^na_(ij)x_j=b_i,

(1)

solve for the value of x_i while assuming the other entries of x remain fixed. This gives

 x_i^((k))=(b_i-sum_(j!=i)a_(ij)x_j^((k-1)))/(a_(ii)),

(2)

which is the Jacobi method.

In this method, the order in which the equations are examined is irrelevant, since the Jacobi method treats them independently. The definition of the Jacobi method can be expressed with matrices as

 x^((k))=D^(-1)(L+U)x^((k-1))+D^(-1)b,

(3)

where the matrices D-L, and -U represent thediagonal, strictly lower triangular, and strictly upper triangular parts of A, respectively.


REFERENCES:

Acton, F. S. Numerical Methods That Work, 2nd printing. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 161-163, 1990.

Barrett, R.; Berry, M.; Chan, T. F.; Demmel, J.; Donato, J.; Dongarra, J.; Eijkhout, V.; Pozo, R.; Romine, C.; and van der Vorst, H. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd ed. Philadelphia, PA: SIAM, 1994. http://www.netlib.org/linalg/html_templates/Templates.html.

Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, p. 892, 1997.

Hageman, L. and Young, D. Applied Iterative Methods. New York: Academic Press, 1981.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 864-866, 1992.

Varga, R. Matrix Iterative Analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1962.

Young, D. Iterative Solutions of Large Linear Systems. New York: Academic Press, 1971.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.