نظرية القيم الوسطى : THE INTERMEDIATE – VALUE THEOREN
المؤلف:
د.لحسن عبدالله باشيوة
المصدر:
الرياضيات الاساسية وتطبيقاتها
الجزء والصفحة:
132-127
10-11-2021
4172
نظرية القيم الوسطى :
THE INTERMEDIATE – VALUE THEOREN
إذا كانت لدينا دالة مستمرة على طول الفترة . [a,b] ، وإذا وجد عدد حقيقي v محصور في الفترة 
بحيث إن كلا من 
. ، فإنه يوجد عدد حقيقي c في الفترة المغلقة [a,b]. بحيث إن : f(c) = v يمكن توضيح النظرية في التمثيل التالي:
شكل (1-1)
(شكل 2-1)
مثال (1) : بين ان المننحى الخالص بالدالة التكعيبية x3 + x2 – 4 = 0 في الفترة (1.2).
الحل:
يتضح أن منحنى الدالة التكعيبية f(x) = x3 + x2 – 4 كما يلي:
شكل (3-1)
يتضح من الشكل أن :
وهذا ما يؤكد أن المعادلة x3 + x2 – 4 = 0 تقبل على الأقل جذر في الفترة (1,2). ويتأكدك ذلك من أن 
، وأن 
وهو ما يعني أن 
، وحسب النظرية فإنه يوجد x1 بحيث إن f(x1) = 0.
مثال (2) : بين المجال الذي يكون فيه منحنى الدالة f(x) = x3 – 9x سالباً وموجباً.
الحل:
تعريف : نسمي متوسط التغاير (average rste of vhange) للفترة [a,b] الكق
المقدار الكمي الذي يعبر عنه بالمعادلة : 
وعندما يكون طول الفترة h قصيراً جداً يمكن التعبير عن المقدار بالمعادلة : 
. ويتم التعبير عنها بيانياً كما يلي:
شكل (4-1)
يعبر عن مقدار التغاير بين المتغيرين بحاصل قسمة بين المقدار Δx والمقدار Δy. وذلك :
ويعبر عن مقدار التغاير بيانياً كما يلي:
شكل (5-1)
مثال (1) : لتكن لدينا الدالة التربيعية :
أوجد مقدار التغاير بين الفاصلتين : t =1 و t = 3
الحل: ببساطة يمكن حساب مقدار التغاير الذي يغبر عن السرعة والمعطى بالعلاقة التالية:
ملاحظة : يمكن التعبير عن مقدار التغاير في الفترات الصغيرة بيانياً كما يلي:
شكل (6-1)
يسمى المقدار 
. في حالة وجوده بنسبة التغاير للدالة f.
مثال(2) : لتكن لدينا الدالة التربيعية السابقة : 
أوجد مقدار نسبة التغاير للدالة عند الفاصلة t = 3.
الحل:
بحسابات بسيطة يمكن التعبير عن نسبة التغاير عند الفاصلة t =3 كما يلي:
مثال(3) : لتكن لدينا الدالة : f(x) = 1/(x-1).
أوجد متوسط التغاير للدالة ف الفترة المغلقة [2,5]؟
الحل:
باستخدام التعريف يحصل لدينا : 
مثال (4) : لتكن لدينا : f(x) = x2 – 3x
أوجد متوسط التغاير للدالة في الفترة المغلقة [0,2]؟ ثم نسبة التغاير عند x = 1.
الحل:
باستخدام التعريف الخاص بمتوسط التغاير للدالة في الفترة المغلقة [0,2] يحصل لدينا:
واما نسبة التغاير عند x =1 فهي :
مثال (5) : لتكن لدينا الدالة : 
أوجد نسبة التغاير للدالة عند x؟
الحل:
تحسب نسبة التغاير عند x كما يلي:
الاكثر قراءة في التفاضل و التكامل
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
