النهايات من الطرف الواحد :  ONE – SIDED LIMITS

نقول عن الدالة f(x) إنها تقبل نهاية من اليمين (Right - Hand) عند النقطة       x = a إذا كان :

ونقول عن الدالة f(x) إنها تقبل نهاية من الشمال (اليسار) (Left - Hand) عند النقطة x = a إذا كان : .

ونقول عن الدالة f(x) أنها تقبل نهاية عند النقطة x = a إذا كان :

شكل (1-1)

مثال (1) : أوجد النهاية من الجهة اليسرى ، للدالة f(x) التالية إن وجدت:

الحل:

ببساطة يمكن حساب نهاية الدالة اليسرى، ومن خلال الأسلوب المبشر وذلك :

مثال (2) : أوجد النهاية من الجهة اليمنى للدالة f(x) الثانية إن وجدت :

الحل :

ببساطة يمكن حساب نهاية الدالة اليمنى ، ومن خلال الأسلوب المباشر وذلك :

مثال (3) : لتكن لدينا الدالة f(x) المعرفة كما يلي:

المطلوب : مثل منحنى الدالة f(x) . ثم اثبت أن النهاية من الجهة اليسرى وأن غير موجدة للدالة f(x).

الحل :

منحنى الدالة f(x) هو كما موضح في التمثيل البياني التالي:

شكل (2-1)

مثال (4) : أوجد النهاية التالية

:   

الحل :

يلاحظ أننا في حالة عدم التعيين من النوع 0/0. ولأجل التخلص منها نستخرج العامل المشترك مع المقام ، ونقوم بعمليات الاختصار ثم الحساب البسيط كمايلي:

مثال (5) : أوجد النهاية التالية  :

الحل :

يلاحظ أننا في حالة عدم التعيين من النوع 0/0 . وجل التخلص منها نستخرج قيمة الدالة عند المقام ونقوم بعمليات الاختصار ثم الحساب البسيط كما يلي:

مثال (6) : لتكن لدينا الدالة

أوجد مجموعة تعريف الدالة dom (f) ، ثم أوجد النهاية عند x = 1? : ، x = 1?، وأوجد النهاية عند أحد الأطراف لكل حالة.

الحل :

ببساطة يمكن ملاحظة ان الدالة معرفة إذا كان : وعليه فإن مجموعة مجال التعريف معرفة كما يلي: . وفيما يخص النهاية في الحالتين فهي غير موجودة ، ولأجل التوضيح نحسب النهاية في أحد الأطراف لكل حالة: