تعريف النهاية : DENFINITION OF LIMIT
المؤلف:
د.لحسن عبدالله باشيوة
المصدر:
الرياضيات الاساسية وتطبيقاتها
الجزء والصفحة:
71-75
3-11-2021
8088
تعريف النهاية : DENFINITION OF LIMIT
نعرف نهاية الدالة f(x) عندما تقترب x من قيمة a الموجودة داخل مجال تعريف الدالة dom (f) الذي يحوي المجال المفتوح من اليمين (a-h , a)، او من الشمال (a,a+h) لكل قيم 0≺h. ، حيث إن قيمة الدالة تقترب من قيمة L ونكتب : 
ونقدم التعريف الرياضي البسيط التالي :
لكل قيم 
، يوجد العدد الحقيقي الموجب
، وأن لكل قيم x التي تحقق 
يتضح التعريف من خلال الشكل (1-1) التالي:
شكل (1-1) : يوضح تعريف النهاية للدالة عند القيمة الحقيقية
ان التعريف الوارد يوضح أن العدد الحقيقي L تكون غاية الدالة f(x) عندما تقترب x من قيمة a ، إذا استطعنا أن نجد العدد الحقيقي الذي يحقق 
حيث إن لكل قيم العدد الحقيقي الموجب 
فإن 
يتحقق دائماً.
يمكن ملاحظة ثلاث حالات مهمة للنهاية عند النقطة المحددة ، وهي :
الحالة الأولى : منحنى الدالة f يمر بالنقطة البيانية (a, L) ، حيث إن 
والمنحنى يشمل النقطة.
الحالة الثانية : منحنى الدالة f يلمس النقطة البيانية (a, L)، حيث إن 
، والمنحنى لا يشملها.
الحالة الثالثة : منحنى الدالة f لا يمر بالنقطة البيانية (a, L) ، لأن f(a) غير موجودة ، رغم أن 
، والمنحنى يلمس النقطة ولا يشملها.
شكل (2-1) يوضح الحالات الثلاث المهمة لوجود النهاية
مثال (1) : باستخدام التعريف بين أن : 
الحل :
لنعتبر وجود عدد حقيقي موجب 
، إذن لدينا 
بحيث إن إذا أخذنا : 
، وهو ما يؤكد أن : 
والذي يؤكد بأن النهاية للدالة موجودة ووحيدة ، ويكافئ أن : 
مثال (2) : باستخدام التعريف اثبت أن : 
الحل :
مثال (3) : باستخدام التعريف ، ادرس وجود النهاية للدالة:
الحل :
من خلال رسم المنحنى الممثل للدالة ، نلاحظ أن القيم للنهاية بجوار الصفر من اليمين والشمال تختلف عن بعضها البعض، وهو ما يعني أن النهاية 
غير موجودة عند 0 = x.
شكل (3-1)
يمكن من خلال استخدام التعريف ، أن نجد عدداً حقيقياً موجباً 
بحيث إن : 
و هو ما يؤكد أن النهاية غير موجودة للدالة f(x) عند 0 = x.
مثال (4) : باستخدام التعريف ، أثبت أن : 
الحل :
لكل عدد حقيقي موجب 
وهو ما يؤكد وجود عدد حقيقي .
. والذي يجعل أن المتراجحة 
تتحقق دائماً ، والذي يعني أن : 
وهو المطلوب إثباته.
مثال (5) : باستخدام التعريف اثبت أن : 
الحل :
مثال (6) : باستخدام التعريف اثبت أن : 
الحل :
مثال (7) : باستخدام التعريف أثبت أن :
الحل :
من خلال هذه الأمثلة تتضح عندنا بعض النتائج ، والتي ندرجها في خواص النهايات.
الاكثر قراءة في التفاضل و التكامل
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
