Let  be an ergodic endomorphism of the probability space  and let  be a real-valued measurable function. Then for almost every , we have

(1)

as . To illustrate this, take  to be the characteristic function of some subset  of  so that

{1 if x in A; 0 if x not in A. " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/BirkhoffsErgodicTheorem/NumberedEquation2.gif" style="height:41px; width:125px" />

(2)

The left-hand side of (1) just says how often the orbit of  (that is, the points , , , ...) lies in , and the right-hand side is just the measure of . Thus, for an ergodic endomorphism, "space-averages = time-averages almost everywhere." Moreover, if  is continuous and uniquely ergodic with Borel measure  and  is continuous, then we can replace the almost everywhere convergence in (1) with "everywhere."

REFERENCES:

Cornfeld, I.; Fomin, S.; and Sinai, Ya. G. Appendix 3 in Ergodic Theory. New York: Springer-Verlag, 1982.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد