المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تربية الماشية في جمهورية مصر العربية
2024-11-06
The structure of the tone-unit
2024-11-06
IIntonation The tone-unit
2024-11-06
Tones on other words
2024-11-06
Level _yes_ no
2024-11-06
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05

معنى كلمة حوط‌
10-12-2015
الشعير Barley
23-6-2022
انواع المقابلات- من حيث المضمون؟
14-10-2020
مكذوبات السلطة في دار الأرقم
2024-09-14
الأوضاع الداخلية في عهد يزيد بن عبد الملك – يزيد الثاني
9-12-2018
Pragmaphilology
16-4-2022

Delannoy Number  
  
856   04:18 مساءً   date: 16-9-2021
Author : Banderier, C. and Schwer, S
Book or Source : "Why Delannoy Numbers?" To appear in J. Stat. Planning Inference. http://www-lipn.univ-paris13.fr/~banderier/Papers/delannoy2004.ps.
Page and Part : ...


Read More
Date: 16-11-2021 804
Date: 25-8-2021 1317
Date: 2-10-2021 1252

Delannoy Number

The Delannoy numbers D(a,b) are the number of lattice paths from (0,0) to (b,a) in which only east (1, 0), north (0, 1), and northeast (1, 1) steps are allowed (i.e., ->^, and ->). They are given by the recurrence relation

 D(a,b)=D(a-1,b)+D(a,b-1)+D(a-1,b-1),

(1)

with D(0,0)=1. The are also given by the sums

D(n,k) = sum_(d=0)^(n)(k; d)(n+k-d; k)

(2)

= sum_(d=0)^(n)2^d(k; d)(n; d)

(3)

= (n+k; k)_2F_1(-n,-k;-(k+n);-1),

(4)

where _2F_1(a,b;c;z) is a hypergeometric function.

A table for values for the Delannoy numbers is given by

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...; 1 3 5 7 9 11 13 15 17 ...; 1 5 13 25 41 61 85 113 145 ...; 1 7 25 63 129 231 377 575 833 ...; 1 9 41 129 321 681 1289 2241 3649 ...; 1 11 61 231 681 1683 3653 7183 13073 ...

(5)

(OEIS A008288) for m=0, 1, ... increasing from left to right and n=0, 1, ... increasing from top to bottom.

They have the generating function

 sum_(p,q=1)^inftyD(p,q)x^py^q=(1-x-y-xy)^(-1)

(6)

(Comtet 1974, p. 81).

DelannoyNumber

Taking n=a=b gives the central Delannoy numbers D(n,n), which are the number of "king walks" from the (0,0) corner of an n×n square to the upper right corner (n,n). These are given by

 D(n,n)=P_n(3),

(7)

where P_n(x) is a Legendre polynomial (Moser 1955; Comtet 1974, p. 81; Vardi 1991). Another expression is

D(n) = D(n,n)

(8)

= sum_(k=0)^(n)(n; k)(n+k; k)

(9)

= _2F_1(-n,n+1;1,-1),

(10)

where (a; b) is a binomial coefficient and _2F_1(a,b;c;z) is a hypergeometric function. These numbers have a surprising connection with the Cantor set (E. W. Weisstein, Apr. 9, 2006).

They also satisfy the recurrence equation

 D(n)=(3(2n-1)D(n-1)-(n-1)D(n-2))/n.

(11)

They have generating function

G(x) = 1/(sqrt(1-6x+x^2))

(12)

= 1+3x+13x^2+63x^3+321x^4+....

(13)

The values of D(n) for n=1, 2, ... are 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, ... (OEIS A001850). The numbers of decimal digits in D(10^n,10^n) for n=0, 1, ... are 1, 7, 76, 764, 7654, 76553, 765549, 7655510, ... (OEIS A114470), where the digits approach those of log_(10)(3+2sqrt(2))=0.765551... (OEIS A114491).

The first few prime Delannoy numbers are 3, 13, 265729, ... (OEIS A092830), corresponding to indices 1, 2, 8, ..., with no others for n<1.1×10^5 (Weisstein, Mar. 8, 2004).

The Schröder numbers bear the same relation to the Delannoy numbers as the Catalan numbers do to the binomial coefficients.

Amazingly, taking the Cholesky decomposition of the square array of D(a,b), transposing, and multiplying it by the diagonal matrix diag(2^(-0/2),2^(-1/2),2^(-2/2),...) gives the square matrix (i.e., lower triangular) version of Pascal's triangle (G. Helms, pers. comm., Aug. 29, 2005).

DelannoyNumberArrays

Beautiful fractal patterns can be obtained by plotting D(a,b) (mod m) (E. Pegg, Jr., pers. comm., Aug. 29, 2005). In particular, the m=3 case corresponds to a pattern resembling the Sierpiński carpet.


REFERENCES:

Banderier, C. and Schwer, S. "Why Delannoy Numbers?" To appear in J. Stat. Planning Inference. http://www-lipn.univ-paris13.fr/~banderier/Papers/delannoy2004.ps.

Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, pp. 80-81, 1974.

Dickau, R. M. "Delannoy and Motzkin Numbers." http://www.prairienet.org/~pops/delannoy.html.

Goodman, E. and Narayana, T. V. "Lattice Paths with Diagonal Steps." Canad. Math. Bull. 12, 847-855, 1969.

Moser, L. "King Paths on a Chessboard." Math. Gaz. 39, 54, 1955.

Moser, L. and Zayachkowski, H. S. "Lattice Paths with Diagonal Steps." Scripta Math. 26, 223-229, 1963.

Sloane, N. J. A. Sequences A001850/M2942, A008288 , A092830, A114470, and A114491 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Stocks, D. R. Jr. "Lattice Paths in E^3 with Diagonal Steps." Canad. Math. Bull. 10, 653-658, 1967.

Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, 1991.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.