تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Standard Map
المؤلف:
Celletti, A. and Chierchia, L
المصدر:
"A Constructive Theory of Lagrangian Tori and Computer-Assisted Applications." Dynamics Rep. 4
الجزء والصفحة:
...
11-9-2021
1886
Standard Map
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
A two-dimensional map also called the Taylor-Greene-Chirikov map in some of the older literature and defined by
![]() |
![]() |
![]() |
(1) |
![]() |
![]() |
![]() |
(2) |
![]() |
![]() |
![]() |
(3) |
where and
are computed mod
and
is a positive constant. Surfaces of section for various values of the constant
are illustrated above.
An analytic estimate of the width of the chaotic zone (Chirikov 1979) finds
![]() |
(4) |
Numerical experiments give and
. The value of
at which global chaos occurs has been bounded by various authors. Greene's Method is the most accurate method so far devised.
author | bound | exact | approx. |
Hermann | ![]() |
![]() |
0.029411764 |
Celletti and Chierchia (1995) | ![]() |
![]() |
0.838 |
Greene | ![]() |
- | 0.971635406 |
MacKay and Percival (1985) | ![]() |
![]() |
0.984375000 |
Mather | ![]() |
![]() |
1.333333333 |
Fixed points are found by requiring that
![]() |
![]() |
![]() |
(5) |
![]() |
![]() |
![]() |
(6) |
The first gives , so
and
![]() |
(7) |
The second requirement gives
![]() |
(8) |
The fixed points are therefore and
. In order to perform a linear stability analysis, take differentials of the variables
![]() |
![]() |
![]() |
(9) |
![]() |
![]() |
![]() |
(10) |
In matrix form,
![]() |
(11) |
The eigenvalues are found by solving the characteristic equation
![]() |
(12) |
so
![]() |
(13) |
![]() |
(14) |
For the fixed point ,
![]() |
![]() |
![]() |
(15) |
![]() |
![]() |
![]() |
(16) |
The fixed point will be stable if Here, that means
![]() |
(17) |
![]() |
(18) |
![]() |
(19) |
![]() |
(20) |
so . For the fixed point (0, 0), the eigenvalues are
![]() |
![]() |
![]() |
(21) |
![]() |
![]() |
![]() |
(22) |
If the map is unstable for the larger eigenvalue, it is unstable. Therefore, examine . We have
![]() |
(23) |
so
![]() |
(24) |
![]() |
(25) |
But , so the second part of the inequality cannot be true. Therefore, the map is unstable at the fixed point (0, 0).
REFERENCES:
Celletti, A. and Chierchia, L. "A Constructive Theory of Lagrangian Tori and Computer-Assisted Applications." Dynamics Rep. 4, 60-129, 1995.
Chirikov, B. V. "A Universal Instability of Many-Dimensional Oscillator Systems." Phys. Rep. 52, 264-379, 1979.
MacKay, R. S. and Percival, I. C. "Converse KAM: Theory and Practice." Comm. Math. Phys. 98, 469-512, 1985.
Rasband, S. N. "The Standard Map." §8.5 in Chaotic Dynamics of Nonlinear Systems. New York: Wiley, pp. 11 and 178-179, 1990.
Tabor, M. "The Hénon-Heiles Hamiltonian." §4.2.r in Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics: An Introduction. New York: Wiley, pp. 134-135, 1989.
الاكثر قراءة في الرياضيات التطبيقية
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة

الآخبار الصحية
